NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 25/03/2017 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	BASES de l'arithmétique
Débutants Nombres	ADDITIONS			Glossaire Nombres
INDEX CALCUL	Addition	Somme des chiffres	Somme de 1 à 100
		Sommaire de cette page >>> SOMME des NOMBRES de 0 à 10 – Triangles >>> SOMME des NOMBRES de 0 à 9 – Deux à deux >>> SOMME des CHIFFRES des nombres de 0 à 99 >>> SOMME des CHIFFRES des nombres de 0 à 1 000 000

ADDITION - SOMME

Jouons avec la somme des nombres successifs

et la somme de leurs chiffres.

Rappel de vocabulaire

Addition = opération >>>

Somme = résultat de l'addition

Chiffres = symboles de 0 à 9 >>>

Nombres = suites de symboles pour exprimer une quantité >>>

Voir DicoMot Math

SOMME des NOMBRES de 0 à 10

La solution en images

La somme 1 + 2 + 3 … + 10 peut se représenter par une sorte de triangle fait de piles de briques de hauteur égale aux nombres successifs, jusqu'à 10.

Posons le même triangle inversé par dessus.

Le triangle rouge contient 1 + 2 + 3 … + 10 briques. Le triangle bleu également. Le rectangle contient 2 fois cette somme.

Avec les deux triangles nous formons un rectangle de 10 de haut et de 10 + 1 de longueur. Nous connaissons l'aire de ce rectangle: 10 x 11 = 110. Et l'aire d'un des triangles: 110 / 2 = 55

La somme des nombres de 1 à 10 est donc simplement 55. Et, la formule générale:

Somme des nombres de 1 à n: S = n (n + 1) / 2

Exemples

Nombres de 1 à	Leur somme
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100	55 210 465 820 1 275 1 830 2 485 3 240 4 095 5 050

SOMME des NOMBRES 0 à 9
Voici la méthode qu'utilisa Gauss enfant pour faire une telle somme: regrouper les nombres deux par deux. Somme des chiffres de 0 à 9 ou somme des nombres de 0 à 9 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 Somme des chiffres des nombres de 0 à 10 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 0 = 46

SOMME des CHIFFRES des nombres de 0 à 99

Nous savons que la somme des nombres est égale à 1 + 2 + 3 + … + 99 = 99 x 100 / 2 = 4 950. Mais quelle est la somme des chiffres de ces nombres? On procéde par tranche de dizaines successives: on retrouve notre somme des nombres de 0 à 9; et les sommes des chiffres des dizaines. Nous disposons des sommes partielles par dizaines. Effectuons les totaux. les dizaines 10 x 1 + 10 x 2 + 10 x 3 + … + 10 x 9 = 10 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 10 x 45 = 450 et les unités 45 + 45 + 45 + … + 45 = 10 x 45 = 450 Soit en additionnant les deux résultats: 450 + 450 = 900. Somme des chiffres des nombres de 0 à 99 = 900 Somme des chiffres des nombres de 0 à 100 = 901

Voir Nombre 901

Somme des chiffres des nombres de 0 à 1 million
En disposant les nombres en colonne de deux comme indiqué, la somme est très facile à exécuter. Formalisation Somme des chiffres jusqu'à N = 10^n Valeurs

Voir Somme des chiffres des nombres

BILAN

Somme des nombres de 0 à 9 Somme des chiffres des nombres de 0 à 9 Somme des chiffres des nombres de 0 à 10 Somme des nombres de 0 à 10 Somme des chiffres des nombres de 0 à 99

45 45 46 55 900

Suite	Soustraction
Voir	Barre magiques des premiers Calcul mental Carrés Magiques Débutants Euros et divisions par 3 Fractions Gauss Jeux Multiplication Nombres triangulaires Pascaline Plus et moins dans les multiplications Preuve par neuf Progression Arithmétique Quantité de segments dans un polygone Sommes des entiers, carrés … Théorie des nombres
DicoNombre	Nombre 10 Nombre 900 Nombre 1 million
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Operatio/AddiSomm.htm