NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ALGÈBRE

 

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Algèbre

 

 

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Arithmétique et Algèbre

 

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Sommaire de cette page

>>> EXEMPLES pour se lancer

>>> OBJETS COMPLEXES

 

 

   

 

ADDITION & SOUSTRACTION

 

Un peu de méthode

et le travail est plus simple et plus sûr.

 

Voir Bases telles qu'enseignées en 5e

 

 Je ne comprends pas pourquoi, on met des lettres.

 

 

EXEMPLE – Premiers pas

*       Calculer:

(3a + 2b – 5c) + (4a – b + c – 5d)

*       Nous n'avons que les  +  et –
Les parenthèses sont donc inutiles.

3a + 2b – 5c + 4a – b + c – 5d

*       Regroupons les termes identiques.

*        Les lettres représentent des objets.

*        Le nombre indique combien d'objets.

*        3a et 4a représentent des objets identiques, en quantité différente.

   3a

+ 2b

– 5c

 

+ 4a 

–   b

+   c 

– 5d

*       Cette disposition nous permet de compter plus facilement les objets identiques:

*        3 objets de type a plus 4 autres donne 7 objets de type a.

*        2 objets de type b moins 1 objet de type b donne 1 objet de type b.

*        etc.

  

7a

+  b

– 4c

– 5d

 

*       Les objets étant tous différents, nous ne pouvons pas simplifier davantage.

7a + b – 4c – 5d

 

 

EXEMPLES

Un petit piège!

*       Calculer:

(3a + 2b – 5c) + (–4a – b + c – 5d)

*       Nous n'avons que les  +  et –

*        Les parenthèses sont inutiles.

*        Mais attention au signe moins associé à 4a.

*        Il ne compte que pour 4a et non pas pour toute la parenthèse.

3a + 2b – 5c – 4a – b + c – 5d

*       Calcul.

3a

+ 2b

– 5c

 

– 4a 

–   b

+   c 

– 5d

*       Résultat:

– a

+ b

– 4c

– 5d

Un plus gros piège!

*       Calculer:

(3a + 2b – 5c) – (4a – b + c – 5d) 

*       Nous n'avons que les  +  et –

*        Les parenthèses sont inutiles.

*        Mais attention le signe moins placé devant la parenthèse indique qu'il faut retirer chaque type d'objet.

*        En bref, inverser tous les signes.

3a

+ 2b

– 5c

 

– 4a 

+  b

–   c 

+ 5d

*       Résultat:

– a

+ 3b

– 6c

+ 5d

Un très gros piège

*       Calculer:

(3a + 2b – 5c) – (– 4a – b + c – 5d) 

*       Nous n'avons que les  +  et –

*        Nous avons un moins devant la parenthèse.

*        Il faut inverser le signe de chaque terme.

*        Y compris le premier: le moins devient plus.

3a

+ 2b

– 5c

 

+ 4a 

+  b

–   c 

+ 5d

*       Résultat:

7a

+ 3b

– 6c

+ 5d

 

 

 

OBJETS COMPLEXES

Regrouper les objets de même type

*       Calculer:

(5abc + 2cd + 2ab – 7y – xyz)

+ (5x – ab + 8y + 4xyz)

–(2abc + cd + xyz)

*       Ordonnons en se souvenant qu'un objet est formé de toutes les lettres.

*       Le nombre devant est le coefficient qui indique la quantité d'objets.

*       Deux objets sont identiques que si toutes les lettres sont identiques.

2ab

+5abc

+2cd

 

–7y

–xyz

–ab

 

 

+5x

+8y

+4xyz

 

–2abc

–cd

 

 

–xyz

*       Résultat:

ab

+3abc

+cd

+5x

+y

+2xyz

Il est d'usage d'ordonner par puissances décroissantes

*       Calculer:

(4x3 + 3x4  – 5x2 – 10x + 13 + x5)

+ (5x2 – 2x3 – 10 – 10x)

+ (2x3 + x2 + 3x4 + 4x5)

+ (3x4 + 2x2 + 1)

*       Deux objets sont identiques que si toutes les lettres sont identiques et toutes leur puissance également

x5

+3x4

+4x3

–5x2

–10x

+13

 

 

–2x3

+5x2

–10x

–10

+4x5

+3x4

+2x3

+ x2

 

 

 

+3x4

 

+2x2

 

+1

*       Résultat:

5x5

+9x4

+4x3

+3x2

–20x

+4

Puissances croissantes et décroissantes

*       Calculer:

(5x3 – 4xy2 + 2x2y – y3)

+ (2x2y – 2x3)

+ (10y3 + 9xy2 + 2x2y)

+ (2x2y – 4xy2 – y3 –2x3)

*       Ordonnons les x en décroissant et les y en croissant.

5x3

+2x2y

–4xy2

–y3

–2x3

+2x2y

 

 

 

+2x2y

+9xy2

+10y3

–2x3

+2x2y

–4xy2

–y3

*       Résultat:

x3

+8x2y

+xy2

+8y3

 

 

Pour un mathématicien, calculer c'est raisonner, c'est analyser plus profondément les faits géométriques sous-jacents; pour un jeune élève, calculer c'est laisser aux symboles le soin de raisonner à sa place, c'est oublier tout fait géométrique pour ne plus voir que des symboles.                                         Henri Lebesgue

Voir Pensées & humour

 

 

Suite

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*         Tracas de calculs

Voir

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*    Débutants – Index

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*    Équations – Débutant

*    Équations – Glossaire

*    Opérations arithmétiques – Initiations

*    Techniques de base

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