NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/11/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	BASES de l'arithmétique
Débutants Nombres	DIVISIONS				Glossaire Division
INDEX CALCUL	Initiation	Avancé	Décimales	Polynôme		Complexes
	Division des impairs		Division par 9	Fractions		À l'envers
	Division par 90, 99 …		Euclidienne	Algorithmes de divisions
	Tailles différentes			Division rapide (dév. limités)
		Sommaire de cette page >>> Division entière >>> Résumé et preuve par neuf >>> Pratique par l'exemple >>> Un morceau de choix >>> Division par soustractions répétées

DIVISION – AVANCÉ

Comment effectuer une division à deux chiffres ou plus;

normales et avec décimales

Toutes les étapes pas à pas

Rappel vocabulaire

Dividende			Diviseur
	16	3
	15	5	Quotient
Reste	1

Sous forme arithmétique

16 / 3 = 5 reste 1

3 x 5 + 1 = 16

On utilise plutôt la "barre oblique" que le 'deux points" pour symboliser la division

16 / 3 et non 16 : 3

Remarquez que le reste (1) est toujours strictement inférieur au diviseur (3), sinon le quotient (5) devrait être augmenté. On se souvient que le quotient est le plus grand nombre de paquets de 3 que je peux extraire de 16.

Retour à Initiation

DIVISION ENTIÈRE

En nombres entiers

Exemple: 14 789 à diviser par 67

1	4	7	8	9	6	7		Commentaires
1								Il s'agit de traiter le nombre à diviser 14 789 (le dividende) par tranches successives. Voyons la première tranche possible. Pour cela, j'abaisse 1. Mais cette valeur 1 est manifestement inférieure à 67. Pas possible de prendre ne serait-ce que une seule fois un "bloc de 67" dans 1.
1	4							Prenons une tranche plus grande du dividende. Au suivant … J'abaisse le 4; Mais 14 encore inférieur à 67. Toujours pas possible de retirer des "blocs entiers de 67" à 14.
1	4	7			2			Poursuivons en prenant encore un chiffre supplémentaire au dividende. Cette fois, c'est bon! Nous obtenons 147 qui est supérieur à 67 Je cherche alors combien de "blocs de 67" sont contenus dans 147. Je trouve que 2 "blocs entiers de 67" sont contenus dans 147. Car 2 fois 67 = 134, inférieur à 147, donc convient. Mais 3 x 67 = 201, dépasse 147 et ne convient pas. Le nombre 2 est bien la quantité maximale de "blocs entiers de 67" contenus dans 147.
1	3	4						Je retiens donc 2 "blocs de 67" du côté droit, en posant le 2 à droite (quotient). (sous-entendu 2 "blocs de 67") Ce qui revient à dire que je retiens 2 x 67 à droite Ayant posé 2 x 67 du côté droit, il me faut équilibrer les deux côtés de l'opération et retirer 2 x 67 = 134 du côté gauche Dis autrement, vous le comprenez maintenant, La division consiste à aller piocher des "blocs de 67" à gauche pour les basculer à droite sous la forme de "quantité de fois 67"
	1	3						Je retranche donc à gauche les 134 que j'ai retenus à droite sous la forme de 2 "blocs de 67" Ce qui donne la soustraction: 147 – 134 = 13
	1	3	8					Nous venons de traiter une première tranche du dividende Passons à la suivante Elle est constituée du reste obtenu, auquel, naturellement, il est désormais impossible de lui retirer encore un seul "bloc de 67" Pour poursuivre, nous devons prendre une tranche supplémentaire du dividende 14 789 Pour cela, j'abaisse le chiffre suivant, le 8
	1	3	4			2		Dans 138, combien de "blocs entiers de 67" puis-je retirer Encore 2 blocs, mais pas plus
			4					Équilibrons l'opération, en basculant 2 "blocs de 67" de la gauche vers la droite J'ai posé 2 à droite je retire 2 x 67 = 134 à gauche à 138; il reste 4
			4	9			0	Poursuivons le "grignotage" tranche par tranche du dividende J'abaisse le dernier chiffre 9 Et j'obtiens le nouveau nombre 49 à gauche Duquel, je cherche à voir combien de "blocs entiers de 67" il contient Évidemment, il n'y en a pas Je le notifie néanmoins en plaçant 0 au quotient Nous venons d'épuiser les tranches du dividende Il n'y a plus de chiffre à abaisser C'est la fin de la division entière

14 789 divisé par 67 = 220 et reste 49

Résumé et preuve par neuf

Résultat

14 789 / 67 = 220

avec 49 pour reste

En effet

220 x 67 = 14 740
et en ajoutant 49 donne 14 789

En résumé (disposition classique)

1	4	7	8	9	6	7
1	4	7			2	2	0
1	3	4
	1	3
	1	3	8
	1	3	4
			4
			4	9

Preuve par neuf

Voir Rappel du principe

Exemples avec disposition classique à la française
Cas où il faut abaisser deux chiffres en cascade, provoquant l'arrivée d'un 0 dans le quotient.
Cas où il faut abaisser plusieurs chiffres en cascade, provoquant l'arrivée de plusieurs 0 dans le quotient.

Un morceau de choix!
Notez la curiosité avec l'avant-dernier reste en 111… Voir Multiplications pannumériques

Division par soustractions répétées		haut
But Comment programmer une division sans avoir l'instruction division à disposition ?	Une division est en fait une succession de soustractions 12 / 4 => 12 – 4 = 8; 8 – 4 = 4; 4 – 4 = 0. Soit trois soustractions => q = 3 et donc: 12 / 4 = 3
Programmation par boucles (Maple) Les deux nombres sont a à diviser par b. Il faut réaliser un maximum de soustractions de b dans a. Le reste r est initialisé à a et le quotient à 0. Une boucle est exécutée "tant que (while) le reste r est supérieur ou égal à b. Alors r est décrémenté de b et on compte une soustraction en plus (plus 1 sur q). Lorsque la limite est atteinte, impression du quotient et du reste.
Programmation par méthode récursive (Maple) Une fonction (ici nommée procédure) est définie: elle exécute une soustraction. Le principe consiste à faire appel à la fonction elle-même pour effectuer toutes les soustractions à la file. Chaque soustraction est exécutée tandis que le nombre a décroit progressivement. En fin de récursion, impression du quotient. Le reste n'est pas indiqué. Version Python L'exécution de ce programme Python donne:

Voir Algorithmes et programmation de la division / Programmation – Index / Récursivité

Suite	Divisions avec décimales Fractions – Initiation Division de polynômes Division euclidienne (théorie)
Retour Voir résumé en Très utile	Initiation aux divisions Glossaire La preuve par neuf
Voir	Barre magiques des premiers Calcul mental – Index Carrés Magiques Débutants – Index Diviseur électronique Division par 10 Division par 59 Euros et divisions par 3 Fractions Jeux – Index Les quatre opérations – Junior Multiplication Partition des nombres de 1 à 10 Pascaline Plus et moins dans les multiplications Somme des chiffres Théorie des nombres – Index
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Operatio/DivAvanc.htm