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Algèbre

 

Débutants

Technique de base

de l'algèbre

POLYNÔMES

 

Glossaire

Polynômes

 

 

INDEX

Polynômes

 

Arithmétique et algèbre

Introduction

Propriétés

Division

Divisibilité

Unitaire

Exercices

Ex. de divisions

 

Sommaire de cette page

>>> Fraction en somme de fractions

>>> Propriété fondamentale

>>> Théorème de la racine évidente

>>> Cas simple du second degré

>>> Théorème du reste

>>> Théorème de factorisation

>>> Cas particuliers et généralisation

>>> Le coin de l'expert – Définitions

 

 

 

 

Propriétés des polynômes

 

Les principaux théorèmes caractérisant les polynômes, leurs racines et leurs factorisations.

 

*    Un polynôme de degré n possède n racines, réelles ou complexes
Théorème fondamental de l'algèbre démontré par Gauss.

 

*    Une équation de degré n qui possède plus de n racines est une identité (vrai quel que soit x).

 

 

 

Propriété fondamentale

 

Devinette

Prouvez cette identité:

Solution

 

 

Fraction en somme de fractions

 

Il est des cas où il est intéressant de décomposer une fraction polynomiale en somme de fractions.

Ici, il s'agit de trouver deux fractions avec de polynômes du premier degré. Autrement-dit: transformer le deuxième degré en premier degré.

 

Factoriser le dénominateur.
 On note que la constante est 1.

1 – 5x + 6x² = (1 + ax)(1 + bx)

                     = 1 + (a + b)x + abx²

ab = 6 et a + b = – 5 => a = –2 et b = –3

Avec la somme des deux fractions cherchées, la fraction devient:

En réduisant les deux termes de la somme au même dénominateur, le numérateur devient:

1 + x = A(1 – 3x) + B(1 – 2x)

          =  A + B – x(3A + 2B)

 

A + B = 1 et 3A + 2B = - 1

B = 1 – A  => 3A + 2(1- A) = -1 => A = -3

B = 1 + 3 = 4

Finalement

 

 

Théorème de la racine évidente

 

Soit le polynôme

 

Si an et a0 sont des entiers non nuls, et si une fraction irréductible p/q est racine du polynôme, alors p divise a0 et q divise an.

 

 

On déduit que si an est égal à 1 (polynôme unitaire), alors la  racine est un nombre entier, un des diviseurs de a0.

 

Attention au signe.

 

Voir Irrationnalité

 

 

EXEMPLE 1

Selon le théorème

*      p = 1, 2, 7 ou  14

*      q = 1 => la racine est un nombre entier

Essais

 

La racine réelle est 2 et la factorisation donne :

 

 

EXEMPLE 2

 

Pour x = 1, le polynôme en x dépasse 14 : la racine réelle est inférieure à 1

 

Selon le théorème

*      p = 1, 2, 7 ou  14

*      q = 1 ou 3,  avec 1 exclu (racine < 1)

 

Essais

 

La racine réelle est 2/3 et la factorisation donne :

Anglais  Rational Root Theorem

 

Cas simple du second degré

On rappelle qu'il est parfois possible de factoriser un polynôme du second degré à la simple lecture des coefficients.

 

P = x² + 3x + 2

 

2 est le produit des racines: 1 et 2 ?

3 est l'opposé de la somme des racines: –1 et –2

 

P = (x + 1) (x + 2)

 

Exemples avec déclinaison des signes

x² + 3x + 2

x² – x 2

x² + x – 2

x² – 3x + 2

P = +2 et S = –3

P = –2 et S = +1

P = –2 et S = –1

P = +2 et S = +3

x1 = –1 & x2 = –2

x1 = –1 & x2 = +2

x1 = +1 & x2 = –2

x1 = +1 & x2 = +2

=> (x + 1) (x + 2)

=> (x + 1) (x – 2)

=> (x – 1) (x + 2)

=> (x – 1) (x – 2)

x² + 9x + 14

x² – 5x – 14

x² + 5x – 14

x² – 9x + 14

P = +14 et S = –9

P = –14 et S = +5

P = –14 et S = –5

P = +14 et S = +9

x1 = –2 & x2 = –7

x1 = –2 & x2 = +7

x1 = +2 & x2 = –7

x1 = +2 & x2 = +7

=> (x + 2) (x + 7)

=> (x + 2) (x – 7)

=> (x – 2) (x + 7)

=> (x – 2) (x – 7)

Exemples moins évidents

x² + 5x – 104

P = –104 et S = –5

104 = 2 x 52

        = 4 x 26

        = 8 x 13

x1 = +8

&

x2 = –13

=> (x – 8) (x + 13)

2x² + 5x – 3

= 2(x² + 5/2 x – 3/2)

P = –3/2

et

S = –5/2

x1 = +1/2

&

x2 = –3

=> 2 (x – 1/2) (x + 3)

=  (2x – 1) (x + 3)

 

 

 

Théorème du reste

 

Théorème du reste polynomial ou petit théorème de Bézout:

 



   Le reste d'une division d'un polynôme f(x) par x – a est égal à f(a).

ssi: si et seulement si

 

Exemple

 

Division de f(x) = 2x6 – 5x3 + 1

                      par x + 2.

 

Le reste de la division est égal à f(a) avec a = –2. Soit:

 

f(a) = 2(–2)6 – 5(–2)3 + 1

      = 2 x 64 – 5 x (–8) + 1

      = 128 + 40 + 1 = 169 = 13²

Démonstration

*    Soit q(x) le quotient et r le reste

*    Alors: f(x) = (x – a) q(x) + r

*    Avec x  = a nous avons: f(a) = (a – a) q(a) + r = r

Anglais: Remainder theorem

 

 

Théorème de factorisation

 

Théorème de factorisation des polynômes

 



 Si (x – a) est un facteur du polynôme f(x), alors f(a) = 0.

 Réciproquement si f(a) = 0, alors (x – a) divise f(x).

 

 

Exemple 1

 

En prenant x6 – 1, une racine évidente est 1 car

f(1) = 16 – 1 = 0

Ce qui veut dire que x6 – 1 est divisible par (x + 1).

On dit aussi: (x + 1) est facteur de x6 – 1. 

Exemple 2

 

 

On sait que 7 est racine de x42x332x219x – 14,

factorisez ce polynôme.
x4 – 2x3 – 32x2 – 19x – 14 = (x – 7) (ax3 + bx2 + cx + d)
On connait déjà les extrémités:

                                              = (x – 7) (1x3 + bx2 + cx + 2)

Développement de cette expression

= x4 + (b–7)x3 + (–7b +c)x2 + (–7c+2) – 14

Soit le jeu d'équations en rapprochant du polynôme initial:

b – 7 = –2           b = 5

–7b + c = –32                 vérifié.

–7c + 2 = –19     c = 3

Bilan:

x4 – 2x3 – 32x2 – 19x – 14 = (x – 7) (x3 + 5x2 + 3x + 2)

 

Démonstration

*    Si (x – a) est facteur de f(x),

*    Alors f(x) = (x – a) g(x).

*    Et f(a) = (a –a) g(a) = 0

*    Le reste de la division de f(x) par (x – a) est nul. Le polynôme f(x) est donc divisible par (x – a).

*    Ce qui s'écrit: f(x) = (x – a) q(x) avec q(x) le quotient de la division.

Anglais: Factor theorem

 

Théorème de factorisation – Cas particuliers

Racine double

Si a est racine double de f(x), alors f(x) est divisible pr la carré de (x – a):

f(x) ) = (x – a) (x – a ) g(x) = (x – a)² g(x)

Généralisation

 

Si (ax + b) est facteur de f(x), alors:

 

 

Exemple

(3x + 2) (x² + x + 1) =  3x3 +5x² + 5x + 2

f (-2/3)  = 0

 

Plusieurs diviseurs

 

Si (x + a)  f(x) et (x + b)  f(x)   PPCM (x + a, x + b)  f(x)

La barre verticale veut dire: divise

 

Autrement dit:

Si  (x+a) et (x+b) divisent f(x) alors:

*   si (x+a) et (x+b) sont premiers entre eux, leur produit divise f(x);

*  sinon, c'est leur plus petit commun multiple qui divise f(x).

Exemple

x4 – 10x3 + 35x2 – 50x + 24

=  (x – 1) (x – 2) (x2 – 7x + 12)

=  (x – 1) (x – 2) (x – 3) (x – 4)

 

f(1) = f(2) = f(3) = f(4) = 0

 

Pour l'amusement

(x – a) (x – b) (x – c) (x – d)

= x4 – (a + b + c + d)x3

+ (ab + ac + ad + bd + bc + cd)x2

– (abc + abd + acd + bcd)x

+ abcd

 

f(a) = f(b) = f(c) = f(d) = 0

 

 

Le coin de l'expert – Définitions

 

Soit un corps K commutatif comme celui des nombres réels R.

 

Un polynôme P à coefficients dans K est une suite an (n entier) indexée sur N d'éléments de K tous nuls sauf un nombre fini (ce sont les coefficients de P). On note:

Si P n'est pas nul, son degré est le plus grand entier d tel que ad est différent de 0. On convient que deg(0) =  – ∞  (moins l'infini).

 

Un monôme est un polynôme dont au plus un des coefficients est non nul.

 

Un polynôme est unitaire (monic en anglais) si son coefficient de plus haut degré est égal à 1.

 

La somme, la différence, le produit de deux polynômes, le produit d'un polynôme par un élément de K ont un sens naturel et possèdent les propriétés de commutativité, associativité, distributivité … pour que l'ensemble K[X] des polynômes soit muni d'une structure d'anneau, de K-espace vectoriel et de K-algèbre.

 

La composition de deux polynômes a également un sens et n'est pas commutative.

 

Suite Polynômes – Exo 7 ou Polynômes et fractions rationnelles – Université de Lyon

  

Devinette – Solution

Prouvez cette identité:

 

Avec x = a, on a:

x = a est une racine de l'équation.

On montrait que x = b et x  = c sont également racines.

On a donc trois racines (a, b et c).

 

On ne s'arrête pas là! En effet, l'équation est du deuxième degré et ne possède pas plus de deux racines.

Avec trois, une de superflue, l'équation est valable pour toute valeur de x et c'est une identité.

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Suite

*         Exercices sur ce thème

Voir

*         PolynômesIndex

*         Factorisation du polynôme du second degré

*         Théorème de Kronecker sur les polynômes unitaires

Site

*         PolynômesBibma@th.net

*         Polynômes – Exo7

*         Racine évidente – Wikipédia

*         Calcul instantané des racines d'un polynôme de degré quelconque – Gecif.net

*         Unitaire ? Vous avez dit unitaire

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