Centre de gravité Formes complexes

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 01/04/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
	PHYSIQUE
Débutants Base de la physique	Centre de Gravité			Glossaire Barycentre
INDEX Barycentre Géométrie Sciences	Débutant	Calcul	Forme simple	Multiforme
		Table	Forme complexe	Intégration
		Triangle	Trapèze	Demi-cercle
		Sommaire de cette page >>> Centre de gravité du demi-disque >>> Calcul >>> Expression des coordonnées >>> Somme infinies ou intégrale >>> Bilan: localisation du centre de gravité

Centre de gravité

Calcul pour formes complexes

Plus que la forme, c'est le calcul qui s'avère complexe. Il fait appel au principe d'équivalence et aux calculs de sommes infinies (intégration).

Nous allons aborder cela simplement, sans les bagages du calcul intégral.

Centre de gravité du demi-disque

Demi-disque

Quart de disque

4 / 3Pi = 0,4244…

Voici les coordonnées du centre de gravité du demi-cercle ou du quart de cercle. Comment les calculer?

Oui! Il faut dire disque lorsque le cercle est plein.

Calcul du centre de gravité du demi-disque
Nous partons d'un demi-disque homogène en plastique ou en métal, d'une épaisseur constante. Nous connaissons le principe d'équivalence qui consiste à associer à deux particules. Une particule équivalente, qui aurait le même effet. Une particule qui aurait un moment égal à la somme des moments des deux particules. Nous allons utiliser le procédé à outrance: en découpant le demi-cercle en n petites bandes dont on fera tendre l'épaisseur vers 0 pour tendre vers une infinité de bandes.
Le centre de gravité est situé sur l'axe des y, symétrie oblige. Donc x = 0. Reste à calculer la valeur de y. Pour cela prenons une fine bande horizontale d'épaisseur dy, et considérons le point M (x, y) sur la circonférence.
Équation cartésienne du cercle, soit les coordonnées du point Mi.	r²	= x_i² + y_i²
Soit la valeur de x en fonction de y	x_i
Masse de la bande (rhô est la masse volumique du matériau). Disque d'épaisseur unité.	m_i
Distance de la bande à l'axe x dy est très, très petit.	d_i	= y_i + dy

Selon le principe de l'équivalence nous concentrons toute la bande sur son centre de gravité, situé sur l'axe y, avec la masse correspondante.
Moment de ce point, équivalent à la bande par rapport à l'axe y.		= =
Il nous faut calculer le moment du centre de gravité du demi-disque
Moment du centre de gravité (épaisseur toujours unité).
Maintenant, nous allons ajouter toutes les contributions des n bandes et égaler cette somme au moment du centre de gravité de l'ensemble.
En égalisant:
dy est très, très petit; dy tend vers 0 et dy² = 0
Expression de y	y
En remplaçant x_i par sa valeur

Ici intervient le calcul intégral qui consiste à faire une sommation quasi-infinie. Alors, dy tend vers 0 et justifie pleinement le fait de négliger le terme en dy². (C'est la méthode de Leibniz qui manque un peu de rigueur; c'est Cauchy qui va résoudre très proprement cette astuce de calcul en introduisant la notion de limite). Pour bien signifier ce passage de bandes élémentaires ( on dit discrètes) aux "bandes" continues, on change symbole de sommation sigma en une sorte de grand S. Les n bandes qui couvraient le rayon R, sont transformer en un processus continu qui va de 0 à R.
Passage au formalisme de l'intégrale	y
Changement de variable pour s'affranchir de la racine	u²	= r² – y ²
En dérivant, on obtient également cette égalité	2u.du	= 0 – 2y. dy
Lorsque y varie de 0 à r:	u	varie de r à 0
L'intégrale devient:	y
Pour résoudre une telle intégrale, on cherche la fonction de degré supérieur qui donnerait celle-ci pour dérivée. Il s'agit d'une sorte de "surface de degré 3" de la courbe de degré 2 (c'est une image pour interpréter le procédé le plus simplement possible). Pour calculer la valeur de la "surface" embrassée par l'intégrale, il suffit alors de faire la différence entre la valeur d'arrivée (pour 0) et la valeur de départ (pour R).
Primitive d'un carré:	u²
Valeur pour le départ, ou borne inférieure, u = R:	y_R
Valeur pour l'arrivée, ou borne supérieure, u = 0:	y₀
Différence:	y_G

Bilan

Le centre de gravité ou centre géométrique du demi-disque est situé sur l'axe de symétrie à une distance du centre de

4R / 3Pi = 0,4244131815783875620503567023267… R

Soit, un peu en-dessous du milieu du rayon.

Suite	Centre de gravité – Formes multiformes Centre de gravité et barycentre – Glossaire Paraboloïde et conoïde Croissant de lune
Voir	Archimède – Biographie Euréka Forces Histoire Multiplication Sciences – Index Treuil
Aussi	Gravité dans DicoMot
DicoNombre	Nombre 0,4244…
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aScience/Physique/STATIQUE/CGFormCo.htm