nombres premiers sur horloge

NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/06/2018 Orientation générale DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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NOMBRES PREMIERS

lus sur le cadran de l'horloge

Parmi les nombres inscrits sur le cadran de l'horloge, seuls {2, 3, 5, 7, 11} sont premiers.

Mais, est-il possible de lire des nombres premiers en prenant les chiffres dans l'ordre en tournant dans le sens horaire ? La réponse est oui, et le plus petit est 23. Combien sont-ils ?

Cette curiosité a été proposée par Patrick De Geest, un expert en nombres et surtout en palindromes.

Voir aussi, les nombres premiers ascendants et descendants.

Note: voir l'amusement qui consiste à remplacer les nombres du cadran par des expressions mathématiques >>>

Anglais: Clock Primes

Approche

Avec les chiffres [1, 2, 3 …], construisons les nombres en concaténant une sélection de k chiffres successifs.

Exemple avec [1, 2, 3]

Les nombres construits de la sorte sont:

1, 2, 3 avec un seul chiffre;

12, 23 avec deux chiffres; et

123 avec trois chiffres.

Notre but est de compter les nombres premiers parmi les nombres ainsi construits, comme {2, 3, 23}.

[chiffres], {nombres construits}, {premiers}

[1, 2], {1, 2, 12}, {2}

[1, 2, 3], {1, 2, 3, 12, 23, 123}, {2, 3, 23}

[1, 2, 3, 4],

{1, 2, 3, 4, 12, 23, 34, 123, 234, 1234},

{2, 3, 23}

Nombres premiers avec les chiffres dans l'ordre

On forme donc les nombres avec concaténation de plus ou moins de chiffres successifs.

Ce tableau donne la liste des neuf nombres premiers de ce type.

Nombres premiers avec chiffres qui se suivent

Voir Les cent nombres premiers croissants

Nombres premiers avec les chiffres sur le cadran
On applique le même principe en retenant les chiffres des nombres premiers du cadran de l'horloge.	[chiffres], {premiers} [2, 3, 5, 7, 1, 1], {2, 3, 5, 7, 11, 23, 71, 571, 2357, 3571, 5711}
Idem avec tous les chiffres du cadran.	[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 0, 1, 1, 1, 2], {2, 3, 5, 7, 11, 23, 67, 89, 101, 4567, 10111, 67891, 89101, 789101, 4567891, 23456789, 56789101, 1234567891, 45678910111, 12345678910111}
Idem avec tous les chiffres du cadran en respectant les nombres (10, 11 et 12) du cadran – Sens horaire Note: ainsi 10111 est éliminé, car le 12 est tronqué.	[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], {2, 3, 5, 7, 11, 23, 67, 89, 4567, 23456789} C'est la suite trouvée avec les seuls chiffres de 1 à 9.
Idem – Sens antihoraire	[12, 11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1] {2, 3, 5, 7, 11, 43, 109, 10987, 76543}

Concaténation multi-tour
On reprend le principe de concaténation, mais en autorisant la poursuite cyclique de la liste. Ce qui revient à recycler la liste initiale autant de fois que l'on veut. Seuls cinq nombres sont premiers pour une lecture sur cent cycles. Note: l'indice indique combien de fois le motif est répété.		Nombres premiers avec [1 et 2] 2 1212121 12121212121 = 12₅1 12121…1 = 12₂₁1 12121…1 = 12₆₉1 Note: 112121, par exemple, est bien premier, mais ne rentre pas dans la règle de lecture car présence de deux "1" successifs.
Avec le nombre (1, 2 et 3), il y a dix nombres premiers pour vingt cycles.		[1, 2, 3]: 2, 3, 23, 31, 1231, 31231, 1231231, 31231231231, 231231₇23 123123₈1231
Table des nombres premiers résultant de la concaténation des chiffres successifs utilisés cycliquement.
Sont-ils en quantité infinie? Sans doute. Par exemple, les suivants avec les chiffres de 1 à 9 =>	4567891234567891234567891, 1234567891234567891234567891, 7891234567891234567891234567891, 23456789123456789123456789123456789123, 67891234567891234567891234567891234567891, 56789123456789123456789123456789123456789123, 56789123456789123456789123456789123456789123456789123456789, 4567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891, 23456789123456789123456789123456789123456789123456789123456789, 1234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567891234567

Nombres premiers sur cadran multi-tour – Clock Primes
Nombres premiers horloge direct Nombres obtenus en lisant le cadran de l'horloge dans le sens horaire, en concaténant les nombres successifs et en ne retenant que les nombres premiers. Les deux nombres de gauche: quantité fois que sont utilisés les nombres de 1 à 12 et quantité de nombres premiers formés avec ceux-ci. Le nombre entre crochets en rouge indique que la suite précédente ayant ce numéro commence cette nouvelle suite. En jaune, le motif répétitif formé de tous les nombres du cadran concaténés.
1 / 10	2, 3, 5, 7, 11, 23, 67, 89, 4567, 23456789
2 / 12	[1], 2345678 9101112123, 89 101112123 4567891011 On lit bien les nombres successifs: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3
3 / 14	[1], 2345678 9101112123, 89 101112123 4567891011, 23 4567891011 1212345678 9101112123, 56 789101112 123456789 101112123 4567891011 Évidemment on va retrouver ce motif en jaune qui se répète.
4 / 14	[3]
5 / 16	[3], 12 123456789 101112123 456789101 112123456 7891011121, 91011 121234567 89101112 123456789 101112123 456789101 1121234567
6 / 17	[5], 1 112123456 7891011121 2345678910 111212345 678910111 212345678 9101112123
7 / 19	[6], 789101 112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121, 1 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121
8 / 20	[7], 1011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121
9 / 20	[8]
10 / 21	[8], 101 1121234567 8910111212 3456789101 1121234567 8910111212 3456789101 1121234567 8910111212 3456789101 1121234567 8910111212 3456789101 1121234567
15 / 22	[10] 12123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121 2345678910 1112123456 7891011121

Et les carrés ?

Quels sont les carrés dont tous les chiffres se suivent ?

Sauf les cas triviaux {1, 4 et 9}, il n'y a pas de tels carrés sur au moins cinquante fois les chiffres répétés.

On note quelques cas proches (les plus petits carrés avec k nombres successifs) :

11² = 121; 106² = 11 236; 116² = 13 456; 7 384² = 54 523 456;

33 518² = 1 123 456 324

Même chose pour les cubes, aucun sauf le cas {8}.

On note quelques cas proches (les plus petits cubes avec k nombres successifs) :

5³ = 125; 77³ = 456 566; 272³ = 20 123 648; 1 015³ = 1 045 678 375;

23 112³ = 12 345 610 940 928

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Sites	OEIS A036342 – Prime concatenated analog clock numbers read clockwise – Patrick De Geest OEIS A036343 – Prime concatenated analog counterclock numbers read clockwise – Patrick De Geest Prime on a clock – Primepuzzles.net – C. Rivera Clock Prime – Wolfram MathWorld
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