NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Algèbre

 

Débutants

Technique de base

de l'algèbre

POLYNÔMES

 

Glossaire

Polynômes

 

 

INDEX

Polynômes

 

Arithmétique et algèbre

Introduction

Propriétés

Division

Divisibilité

Unitaire

Exercices

Ex. de divisions

 

Sommaire de cette page

>>> Retrouver la valeur du paramètre

>>> Retrouver le polynôme original

>>> Divisibilité d'un degré 4 par un degré 2

>>> Divisibilité retrouvée en ajoutant un polynôme

>>> Divisibilité via le PPCM

>>> Polynômes du troisième degré – Divisibilité

 

 

 

 

POLYNÔMES - Exercices

 

Exemples de traitement effectués sur les polynômes. Connaissance des racines d'où connaissance de la factorisation.

 

 

 

Retrouver la valeur du paramètre

Problème

 

 

*    Si

kx3 + x2 – 3kx – 3

est divisible par 2x + 1

*    Trouvez

k

= ?

Rappel

Théorème de factorisation

Si ax + b est facteur de P(x)

alors P(-b/a) = 0 

Solution

 

 

*    Application du théorème

P(-1/2)

= 0

*    Calculs

= 0

*     

= 0

*     

= 0

*     

11 k

= 22

*    Valeur de k

k

= 2

 

Problème

 Si x5 – ax + b

est divisible par x2 – 4

*    Trouvez

a et b

= ?

Racines

x2 – 4

= (x – 2) (x + 2)

f(–2)

f(2)

= (–2)5 – a(–2) + b = –32 + 2a + b = 0

=   (2)5 – a(2)    + b = 32 – 2a + b = 0

Résolution du système

Soustraction

–32 + 2a + b = 0

  32 – 2a + b = 0

–64 + 4a + 0 = 0     a = 16

Substitution

–32 + 2.16 + b = 0     b = 0

Conclusion

et vérification

x5 – 16x

= x(x4 – 16) 

est divisible par x2 – 4

= (x² – 4) (x² + 4) x

 

 

 

Retrouvez le polynôme

Problème

f(x)

est divisible par x2 – 4

a pour racine –3 et 6

Trouvez

f(x)

= ax4 + …

Racines

–3

6 

f(x) = (x + 3) g(x)

f(x) = (x + 3) (x – 6) g'(x)

x2 – 4

apporte deux racines (2 et +2)

Polynôme

du quatrième degré

nous disposons des quatre racines

Calcul

f(x)

 

= (x + 3) (x – 6) (x2 – 4)

= (x2 – 3x – 18)  (x2 – 4)

= x4 – 3x3 – 18x2 – 4x2 + 12x + 72

= x4 – 3x3 – 22x2 + 12x + 72

 

 

 

 

Divisibilité d'un degré 4 par degré 2

Problème

 

 

*    Prouvez que

g(x) divise f(x)

g(x) = x2 – 1

f(x) = 10x4 + 9x3 – 2x2 – 9x – 8    

Racines

de x2 – 1 

= {–1 et +1}

Calcul de f(racines)

f(–1)

f(1)

= 10 – 9 – 2  + 9 – 8 = 0

= 10 + 9 – 2 – 9 – 8 = 0

Théorème du reste

–1 et  +1 sont bien racines de f(x);

(x – 1) (x + 1) = x2 – 1 divise f(x).

 

Problème

Note: on utilise y et non x pour ne pas confondre avec le signe multiplier.

*    Prouvez que

g(y) divise f(y)

g(y) = y2 + 5y + 6

f(y) = 10y4 + 59y3 + 113y2 + 94y + 48    

Racines

g(y) = y2 + 5y + 6

= (y – a) (y – b) = y2 + y(–a – b) + ab

ab = 6 et a + b = –5

a = –2 et b = –3 (ou inversement)

Calcul de f(racines)

f(–2)

 

f(–3)

= 10x16 59x8 + 113x4 – 94x2 + 48

= 160 – 472 + 452 – 188 + 48

= 10*81 – 59x27 + 113x9 – 94x3 + 48

=  810 – 1593 + 1017 – 282 + 48 =

Théorème du reste

–2 et  –3 sont bien racines de f(y);

(y + 2) (y + 3) = y2 + 5y + 6 divise f(y).

 

 

Divisibilité retrouvée en ajoutant un polynôme

Problème

Ajoutez un polynôme h(y) de degré 3 pour que g(y) divise f(y) + h(y)

g(y) = y2 + 5y + 6

f(y) = y3 + 15y2 + 5y + 18

Racines

g(y) = y2 + 5y + 6

= (y – 2) (y – 3)  cf. ci-dessus

Somme des polynômes

f(y)

+ h(y)

= y3 + 15y2 + 5y + 18

+ ay3 + by2 + cy + d

= (a+1)y3 + (b+15)y2 + (c+5)y + d+18

Calcul de f(racines)

f(2 ) + h(2)

= –(a+1)8 + (b+15)4 – (c+5)2  + d + 18

= –8a + 4b – 2c + d – 8 + 60 – 10 + 18

= –8a + 4b – 2c + d + 60

f(3 ) + h(3)

= –(a+1)27 + (b+15)9 – (c+5)3  + d + 18

= –27a + 9b – 3c + d – 27 + 135 – 15 + 18

= –27a + 9b – 3c + d + 111

Consigne

Les restes

 doivent être nuls pour assurer la divisibilité.

Résolution (2 équations pour ' inconnues)

Soustraction

–8a + 4b – 2c + d + 60 = 0

–27a + 9b – 3c + d + 111 = 0

19a – 5b + c – 51 = 0

c = 51 – 19a + 5b

Substitution

–8a + 4b – 2(51 – 19a + 5b) + d + 60 = 0

= 30a – 6b – 102 + d + 60

d = 42 – 30a + 6b

Avec par exemple a = b = 0

Valeurs de c et d

c = 51

d = 42

Un des polynômes à ajouter

h(y)

= ay3 + by2 + cy + d

=                  51y + 42

Polynôme somme

f(y) + h(y)

= y3 + 15y2 +  5y + 18

+                   51y + 42

= y3 + 15y2 + 56y + 60

Vérification

f(-2) + h(-2)

f(-3) + h(-3)

= –8 + 60 – 112  + 60 = 0

= –27 + 135 – 168  + 60 = 0

 

 

 

Divisibilité via la PPCM

Problème

 

 

*    Prouvez que:

f(x) = (x + 1)2n + (x + 2)n – 1   

est divisible par x² + 3x + 2 = g(x)

Racines

de x² + 3x + 2

= {-1 et -2}

Solution

f(-1)

= (-1+1)2n + (-1+2)n – 1 = 0

 

f(-2)

= (-2+1)2n + (-2+2)n – 1 = 0

*      Ce qui veut dire que

les racines de g(x)

sont aussi celles de f(x)

Propriété

(x+1)  f(x) et (x+2)  f(x) 

 PPCM(x+1, x+2)  f(x) 

*      Or

x+1 et x+2

sont deux nombres consécutifs et sont premiers entre eux

*    Leur PPCM et le produit

PPCM(x+1, x+2)

= (x+1) (x+2) = x² + 3x + 2 = g(x)

*     

g(x)

divise f(x)   

 

 

 

 

Polynômes du troisième degré – Divisibilité

Problème

 

 

*    Polynômes:

P et Q:

à coefficients réels

*    Si

Si (x – a)2 divise

et (x – a)3 ne divise pas

P(x)3 – Q(x)3

*    Montrer que:

Alors (x – a)2 divise

P(x) – Q(x)

Autrement-dit

Si P3 – Q3

 P – Q

= (x – a)² R   (x – a)3 S

= (x – a)² T

Voir Théorème de factorisation

a est racine

double mais pas triple

Démonstration

 

 

*    Factorisation:

P3 – Q3

= (P – Q) (P² + PQ + Q²)

*    Selon l'énoncé:

a est racine double de

(P – Q) (P² + PQ + Q²)

*    Faisons cette hypothèse et montrons qu'elle est fausse.

a est racine de

P² + PQ + Q²

*    Alors avec a:

P²(a) + Q²(a)

= –P(a) Q(a)

*    Cette égalité montre que:

0

  P(a) Q(a)

*    Carré de P+ Q avec a:

( P(a) + Q(a) )²

= P²(a) + Q²(a) + 2 P(a)Q(a)

= –P(a) Q(a)    + 2 P(a)Q(a)

=   P(a)Q(a)

*    Cette égalité montre que:

0

  P(a) Q(a)

*    Double inégalité qui impose:

0

= P(a) Q(a)

*    Alors:

a est racine de

P ou Q

*    Si a racine de P

P3(a)

= 0

*    Or a est racine de P3 – Q3.

P3(a) – Q3(a)

= 0

*    Conséquence: a est aussi racine de Q.

Q(a)

= 0

*    a est racine de P – Q

P(a) – Q(a)

= 0 racine simple au moins

*    Or a est racine de l'autre facteur (notre hypothèse).

P²(a) + P(a)Q(a) + Q²(a)

= 0 racine double au moins

*    Sur le produit des deux facteurs:

P3(a) – Q3(a)

= 0 racine au moins triple

*    Contraire à l'énoncé.

a

 n'est pas racine triple

*    Hypothèse fausse:

a n'est pas racine de

P² + PQ + Q²

*    a est racine double (selon l'énoncé),

mais uniquement sur

P – Q  

 

 

 

Suite

*         Exemples de divisions avec puissances à étages

Voir

*         PolynômesIndex

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