NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Transformation powertrain

>>> Liste des valeurs du powertrain

>>> Racine powertrain

>>> Nombres sans racine powertrain

>>> Racine powertrain = 4

 

 

 

 

 

POWERTRAIN

Produit des chiffres avec puissances

 

Création d'un nouveau nombre à partir des chiffres d'un nombre: c'est le produit de chaque chiffre de rang impair élevé à la puissance du chiffre de rang pair.

 

 

 

 

 

Transformation powertrain

La transformation powertrain consiste à multiplier les couples des chiffres, le second étant un exposant.
1234567 devient 12·34·56·7

 

La transformation powertrain des premiers nombres est particulièrement simple.

Les nombres qui commencent par 1, par exemple, contribuent pour un facteur 1, quel que soit le deuxième chiffre.

 

Table des powertrain

 

 

Liste des valeurs du powertrain

Pour n  de 0 à 499

 

Ex: 499 donne
49 x 9
= 262 144 x 9
 =
2359296

 

0, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, 6561, 19683, 1, 4, 16, 64, 256, 1024, 4096, 16384, 65536, 262144, 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125, 390625, 1953125, 1, 6, 36, 216, 1296, 7776, 46656, 279936, 1679616, 10077696, 1, 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649, 823543, 5764801, 40353607, 1, 8, 64, 512, 4096, 32768, 262144, 2097152, 16777216, 134217728, 1, 9, 81, 729, 6561, 59049, 531441, 4782969, 43046721, 387420489]

100, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]

200, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 0, 32, 64, 96, 128, 160, 192, 224, 256, 288, 0, 64, 128, 192, 256, 320, 384, 448, 512, 576, 0, 128, 256, 384, 512, 640, 768, 896, 1024, 1152, 0, 256, 512, 768, 1024, 1280, 1536, 1792, 2048, 2304, 0, 512, 1024, 1536, 2048, 2560, 3072, 3584, 4096, 4608]

300, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 0, 27, 54, 81, 108, 135, 162, 189, 216, 243, 0, 81, 162, 243, 324, 405, 486, 567, 648, 729, 0, 243, 486, 729, 972, 1215, 1458, 1701, 1944, 2187, 0, 729, 1458, 2187, 2916, 3645, 4374, 5103, 5832, 6561, 0, 2187, 4374, 6561, 8748, 10935, 13122, 15309, 17496, 19683, 0, 6561, 13122, 19683, 26244, 32805, 39366, 45927, 52488, 59049, 0, 19683, 39366, 59049, 78732, 98415, 118098, 137781, 157464, 177147]

400, [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 0, 16, 32, 48, 64, 80, 96, 112, 128, 144, 0, 64, 128, 192, 256, 320, 384, 448, 512, 576, 0, 256, 512, 768, 1024, 1280, 1536, 1792, 2048, 2304, 0, 1024, 2048, 3072, 4096, 5120, 6144, 7168, 8192, 9216, 0, 4096, 8192, 12288, 16384, 20480, 24576, 28672, 32768, 36864, 0, 16384, 32768, 49152, 65536, 81920, 98304, 114688, 131072, 147456, 0, 65536, 131072, 196608, 262144, 327680, 393216, 458752, 524288, 589824, 0, 262144, 524288, 786432, 1048576, 1310720, 1572864, 1835008, 2097152, 2359296]

 

 

Racine powertrain

 

L'idée consiste à appliquer le procédé powertrain de manière itérative jusqu'à aboutir à un nombre à un seul chiffre.

Avec l'exemple  du nombre 55, la racine powertrain est 0, obtenue en cinq itérations.

Voir Brève 802

 

 

Exemple

55, 5, [3125, 96, 531441, 500, 0]

Tous les nombres jusqu'à 23 se terminent en une seule itération: 17 => 17 = 1.

Le plus petit nombre à deux itérations est 24: 24 = 16 et 16 = 1.

 

Liste des nombres de 1 à 100 avec calcul de la racine en plus de une étape

24, 2, [16, 1]

25, 2, [32, 9]

26, 5, [64, 1296, 531441, 500, 0]

27, 2, [128, 8]

28, 3, [256, 192, 2]

29, 3, [512, 10, 1]

33, 3, [27, 128, 8]

34, 2, [81, 8]

35, 5, [243, 48, 65536, 5832000, 0]

36, 5, [729, 441, 256, 192, 2]

37, 5, [2187, 4194304, 104976, 30840979456, 0]

38, 4, [6561, 46656, 191102976, 0]

39, 9, [19683, 5038848, 214990848, 17179869184, 1735247072139264, 19999187712, 102372436321763328, 8813365017182208, 0]

42, 2, [16, 1]

43, 5, [64, 1296, 531441, 500, 0]

44, 3, [256, 192, 2]

45, 3, [1024, 16, 1]

46, 4, [4096, 531441, 500, 0]

47, 6, [16384, 26244, 4096, 531441, 500, 0]

48, 3, [65536, 5832000, 0]

49, 5, [262144, 32768, 8470728, 1605632, 0]

52, 3, [25, 32, 9]

53, 2, [125, 5]

54, 3, [625, 180, 0]

55, 5, [3125, 96, 531441, 500, 0]

56, 3, [15625, 180, 0]

57, 3, [78125, 28824005, 0]

58, 2, [390625, 0]

59, 4, [1953125, 625, 180, 0]

62, 6, [36, 729, 441, 256, 192, 2]

63, 3, [216, 12, 1]

64, 4, [1296, 531441, 500, 0]

65, 4, [7776, 96889010407, 62412703137792, 0]

66, 3, [46656, 191102976, 0]

67, 3, [279936, 36150980669568, 0]

68, 8, [1679616, 1452729852, 1318305830625, 70312500, 96, 531441, 500, 0]

69, 2, [10077696, 0]

72, 6, [49, 262144, 32768, 8470728, 1605632, 0]

73, 6, [343, 243, 48, 65536, 5832000, 0]

74, 2, [2401, 0]

75, 2, [16807, 7]

76, 3, [117649, 30840979456, 0]

77, 5, [823543, 995328, 12397455648000, 191398476150000, 0]

78, 3, [5764801, 101250000, 0]

79, 2, [40353607, 0]

82, 5, [64, 1296, 531441, 500, 0]

83, 3, [512, 10, 1]

84, 4, [4096, 531441, 500, 0]

85, 4, [32768, 8470728, 1605632, 0]

86, 5, [262144, 32768, 8470728, 1605632, 0]

87, 4, [2097152, 9565938, 2677850419968, 0]

88, 3, [16777216, 40353607, 0]

89, 7, [134217728, 6272, 1764, 1296, 531441, 500, 0]

92, 2, [81, 8]

93, 5, [729, 441, 256, 192, 2]

94, 4, [6561, 46656, 191102976, 0]

95, 2, [59049, 0]

96, 3, [531441, 500, 0]

97, 3, [4782969, 5015306502144, 0]

98, 2, [43046721, 0]

99, 4, [387420489, 9291474468864, 5385144351531158470656, 0]

 

 

Nombres SANS racine powertrain

 

Nombre auto racine powertrain

Le seul nombre égal à son powertrain (au moins jusqu'à 1 000 000). Ce nombre est aussi appelé "faute de frappe".

 

Le nombre 642 qui produit 2 592 a un processus itératif sans fin, donc aucune racine à un chiffre. C'est le plus petit.

La suite des nombres qui ont une racine égale à 2592 figure à droite.  Ils n'ont pas de racine à un chiffre.

 

 

Nombres sans racine powertrain

642, 2164, 2534, 2592, 3425, 6421, 9225, 10642, 11642, 12642, 13642, 14642, 15642, 16642, 17642, 18642, 19642, 20642, 21636, 21641, 22348, 22633, 22928, 23344, 23629, 23924, 24336, 24342, 24922, 25329, 25333, 25341, 25919, 25921, 30642, 31634, 32259, 32628, 33246, 33253, 33426, 34228, 34234, 34242, 34251, 34418, 34422, 34814, 40642, 41348, 41633, 41928, 42336, 42342, 42922, 50642, 60642, 61632, 62239, 62328, 62622, 62819, 62918, 63216, 63223, 63314, 63413, 63612, 64002, 64102, 64112, 64122, 64132, 64142, 64152, 64162, 64172, 64182, 64192, 64202, 64211, 64302, 64402, 64502, 64602, 64702, 64802, 64902, 70642, 80642, 81344, 81629, 81924, 90642, 91259, 91628, 92228, 92234, 92242, 92251, 92418, 92422, 92814, …

Voir Nombres faute de frappe pour d'autres nombres de ce type

 

 

 

Racine powertain = 4

 

Tous: 114 cas jusqu'à 10 000

4, 22, 41, 104, 114, 124, 134, 144, 154, 164, 174, 184, 194, 204, 212, 221, 249, 304, 404, 411, 429, 504, 604, 624, 704, 804, 904, 1022, 1041, 1122, 1141, 1222, 1241, 1322, 1341, 1422, 1441, 1522, 1541, 1622, 1641, 1722, 1741, 1822, 1841, 1922, 1941, 2022, 2041, 2121, 2200, 2210, 2211, 2212, 2213, 2214, 2215, 2216, 2217, 2218, 2219, 2220, 2230, 2240, 2250, 2260, 2262, 2270, 2280, 2290, 2432, 2491, 3022, 3041, 3224, 3242, 4022, 4041, 4100, 4110, 4111, 4112, 4113, 4114, 4115, 4116, 4117, 4118, 4119, 4120, 4130, 4140, 4150, 4160, 4162, 4170, 4180, 4190, 4232, 4291, 5022, 5041, 6022, 6041, 6222, 6241, 7022, 7041, 8022, 8041, 9022, 9041, 9124, 9142.

 

Racine en deux itérations jusqu'à 10 000

249, 429, 624, 2262, 2432, 2491, 3224, 3242, 4162, 4232, 4291, 6222, 6241, 9124, 9142.

 

Avec plus de deux itérations jusqu'à 100 000

37494, 37556, 37864, 38552, 38578, 45678, 46672, 47663, 49374, 55376, 55382, 55942, 57388, 57948, 63728, 65859, 66473, 67458, 67462, 67842, 72638, 84672, 85659, 86374, 94552, 94578

 

Record du nombre d'itérations jusqu'à 60 000 000

4, 1, [4]
249,2, [144, 4]

37 494, 3, [2293235712, 1822500000, 4]

63 728, 4, [84672, 2293235712, 1822500000, 4]

   

 

 

 

 

Suite

*      Autres séquences de ce type

*      Nombres narcissiques

*      Retournés et premiers

*      Cycle de Syracuse

*      Autres en haut de page

Voir

*      Boucle infernale

*      Calcul mental

*      Division qui retourne le nombre

*      Géométrie

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*      Nombres retournés

*      Palindrome retard

*      Preuve par neuf en pratique

*      Récurrence

*      Théorie des nombres

Sites

*       OEIS A133500 – The powertrain or power train map

*       OEIS A326737 – Numbers which converge to 4 under repeated application of the powertrain map

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Iteration/Powertra.htm