|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dénombrable et continu Hypothèse du continu Égalité de deux ensembles infinis
exotiques p et t Il y a une infinité
de nombres entiers
et de fractions. Il
y a une infinité " plus grande"
de nombre réels. Existe-t-il
quelque chose entre ces deux types d'infinités ? Réponse Vous
pouvez penser ce que vous voulez. Personne
ne vous contredira. Et, c'est prouvé! Actualité 2017 La presse dit qu'on a prouvé que deux sortes d'infinis sont de même taille. Oui, mais pas ceux indiqués ci-dessus. Ce sont d'autres ensembles infinis (nommés p et t) qui font plonger aux confins de la recherche en théorie des ensembles. |
Vocabulaire
|
Lorsque deux ensembles possèdent le
même nombre d'éléments, ils sont équipotents;
ils ont la même puissance; ils possèdent la
même cardinalité..
Le cardinal d'un ensemble infini se note: Aleph |
Note: Aleph est la première lettre de
l'alphabet hébreu. Son unicode: 2135
|
|
||
|
Infinité "la plus petite" On compte des objets-NOMBRES Quantité
de nombres
rationnels. C'est
d'ailleurs la même quantité pour les entiers,
les pairs, les impairs, les premiers, les carrés, les cubes … |
Infinité plus grande On compte des objets-ENSEMBLES On peut dire famille
d'ensembles pour faciliter la compréhension. Quantité
de tous les ensembles composés de nombres comme: {1}, {1, 2, 3}, {100, 1000,
1001}, {gogol}
… NB: chacune
de ces accolades est un élément de l'ensemble Idée: pour
compter les nombres, il faut "l'infini"; pour compter les couples
de nombres, il faut encore un infini; etc. Soit, une infinité d'infinis. |
|
|
Ces deux
quantités infinies sont notés Aleph 0 et Aleph 1.
Ce qu'on sait:
|
||
Voir Ensemble finis, infinis,
dénombrables
|
|
||
|
Ensemble des nombres réels On
connait les nombres rationnels (fractions). Les nombres réels qui
incluent les irrationnels
et les transcendants
sont beaucoup plus nombreux. On dit que l'ensemble des
réels à la puissance du continu. On note leur quantité
(cardinal) par la lettre c (comme
continu). c = card (R) |
Ensemble des parties de N La
quantité des sous-ensembles de nombres qu'il est imaginable de former à partir
de l'infinité des nombres rationnels est beaucoup plus grande que la quantité
de nombres entiers. Si l'ensemble compte n
éléments, alors, l'ensemble
des parties de cet ensemble compte 2n éléments. Avec l'infinité des nombres
entiers n = aleph 0 et l'ensemble des parties compte 2 puissance aleph 0
éléments. |
|
|
Ce qu'on sait:
|
||
|
|
||
|
L'hypothèse
du continu énonce que:
En 1938, Kurt Gödel montre
que cette hypothèse n'est pas réfutable dans ZFC En 1963, Paul Cohen montre
qu'on ne peut pas déduire cette propriété de la théorie des ensembles ZFC. L'hypothèse du continu est
donc indépendante des axiomes de ZFC ou encore indécidable dans cette
théorie. Cependant la recherche
avance. Faut-il amender la théorie ZFC, modifier ou ajouter des axiomes? |
Hypothèse du continu
|
|
|
Tout d'abord que
signifie ZFC? C'est la théorie de
Zermelo-Fraenkel avec neuf axiomes dont l'axiome du choix et un axiome sur
l'infini. C'est une série
d'axiomes utilisés pour bâtir la théorie des ensembles, un peu comme ceux
d'Euclide pour établir la géométrie euclidienne. Comme pour les géométries
non-classiques, les mathématiciens cherchent d'autres pistes en théorie
des ensembles. En ce qui concerne
notre propos, les chercheurs vont être confrontés à des ensembles exotiques et, c'est dans ce monde que
se situe la démonstration de 2017. Les auteurs: Ernst
Zermelo (1871-1953) and Abraham Fraenkel (1891-1965). |
|
Les nouveaux ensembles
exotiques |
|
|
|
Depuis le
début du XXe siècle, les mathématiciens ont inventé des ensembles
plus ou moins "tordus" pour tester leur théorie. La
dernière avancée dans ce domaine date de 1948. |
En 2017, après 70 ans sans nouvelles, deux
mathématiciens démontrent que, parmi ces ensembles exotiques, deux sont de
même taille, sans d'ailleurs qu'on n'en sache beaucoup plus sur les
propriétés de ces ensembles. |
|
|
Ce qu'on sait:
Pour p et t
|
||
|
|
||
|
Ensemble fini de
nombres infini de nombres |
{12, 13, 25, 56} {53, 54, 55, 56, …} |
|
|
Famille finie
d'ensembles finis d'ensembles finis ou infinis Famille infinie |
{{1, 2}, {0,10, 100}, {25, 26, 106}} {{1, 2}, {0, 1, 2, 3 …}, {2, 3, 5, 7, 11 …}} {{0}, {1}, {2}, {3} …} |
|
|
Famille d'ensembles disjoints (aucun élément
en commun) |
{{0}, {1}, {2}, {3} …} Cet ensemble est infini de cardinal dénombrable |
|
|
Famille de tous les ensembles
finis (Les ensembles, pris deux par deux, sont
presque disjoints: ils ont quelques
éléments en commun ou aucun) |
{{2, 4, 6, 8, 10}, {2, 3, 5, 7, 11, 13, 19}, {1, 3, 5, 6 } …} Cet ensemble est encore dénombrable. Comment "en avoir plus" et dépasser le
dénombrable? C'est faisable, et ils sont bien
non-dénombrables. |
|
|
Famille en tour ou en chaine (Parmi les
ensembles, pris deux par deux, l'un est contenu
dans l'autre) |
E = {tous les entiers, tous ceux >0, tous ceux >1, …} Cet ensemble est également dénombrable. Mais, là aussi, on peut en trouver qui deviennent
non-dénombrables. |
|
|
Famille presque en tour ou en chaine (quelques uns en
nombre fini ne sont pas contenus dans l'autre) |
Nous y voilà! Ensemble P: en
prenant une quantité finie d'ensembles, ceux-ci ont une intersection infinie. Ensemble T: pour
tout couple d'ensembles, l'un d'eux est contenu dans l'autre. Les
cardinaux de ces ensembles sont notés p et t en lettres gothiques. |
|
|
Cette
explication nous donne une petite idée de ces deux ensembles exotiques P et
T. Ci-dessous
définition trouvées sur Internet. |
||
|
Leur définition
précise (pour en avoir une idée)
Définitions relevées dans Pour la
Science p et t sont habituellement écrites en gothique. |
Définitions relevées dans Quanta
magazine |
|
|
|
||
|
Ce qui a été prouvé Les
ensembles t et p ont même cardinal. Mais, l'égalité avec le cardinal des réels n'est
pas prouvée. They prove the equality between two
cardinal characteristics of the continuum, p and t, which are greater than the smallest infinite cardinal and less than or equal to the cardinality of the
continuum. |
Théorie des modèles Il s'agit d'un moyen de
classer les théories mathématiques selon leur complexité (ordre de Keisler
introduit en 1967 par Jerome Keisler). Dans les années 80, Saharon
Shelah montre qu’il existe des paliers dans la complexité. En 2011, Maryanthe
Malliaris rejoint Shelah. Elles réalisent que leurs
travaux sur la complexité sont équivalents au problème p et t et, elles prouvent que ces deux là sont de même
taille. |
|
|
|
|||
|
Les logiciens Kurt Gödel
(1906-1978) et Paul Cohen (1934-2007) ont prouvé que l'hypothèse du continu
ne peut être ni prouvée ni réfutée au sein de la théorie axiomatique des
ensembles connue. On peut supposer qu'il existe d'autres types
d'infinis ou qu'il n'y en a pas entre l'ensemble des nombres naturels et le
continuum. Aucune des hypothèses ne contredit les
prémisses de cette théorie des ensembles. |
Diagramme de Cichoń
Les dix infinis
selon leur taille entre l'infini dénombrable et le continu. |
||
|
L'hypothèse du continu et la
question de savoir combien de types d'infinis existent occupent toujours les
mathématiciens, bien que les approches diffèrent selon la position
philosophique. Certains tentent de réfuter
ou de prouver l'hypothèse du continuum en ajoutant de nouveaux axiomes aux
axiomes du ZFC. L'approche de Saharon Shelah
est assez originale: elle comporte dix infinis intermédiaires. |
Shelah et ses collègues
viennois ont élargi ZFC en supposant que l'hypothèse du continu était fausse
de quatre nombres cardinaux infinis. Ils ont ainsi pu calculer si
la taille différait pour dix infinis déjà définis. Les preuves démontrent que
les dix infinis sont en fait de tailles différentes. De plus, les dix infinis
peuvent être alignés en fonction de leur taille entre l'infini dénombrable et
le continuum. Il en résulte un arrangement
des infinis connu sous le nom de diagramme de Cichoń. |
||
|
|
|||
|
Georg Cantor 1878 |
Il y a
|
||
|
David Hilbert 1900 |
|
||
|
Kurt
Gödel 1931 |
Il se peut que dans certains cas, on puisse
démontrer une chose et son contraire.
|
||
|
Paul Cohen 1963 |
|
||
|
Maryanthe Malliaris et
Saharon Shelah 2017 |
Ces deux mathématiciens démontrent
que: deux infinis particuliers (p et t) sont en fait de même taille. Preuve
en 2016 (Journal of the American Mathematical Society), mais ils sont
récompensés en juillet 2017 (médaille Hausdorff). |
||
|
|
Maryanthe Malliari:’université de
Chicago, |
Saharon Shela: université hébraïque
de Jérusalem et ’université de Rutgers. Né en 1945 |
|
Voir Infini – Historique
|
Suite |
|
|
Voir |
|
|
|
|
|
Cette page |
