carré magique décimal

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Carré décimal

Voici un divertissement magique qui pourrait être utilisé en primaire pour faire découvrir la beauté des nombres. Un bel exemple de coopération entre nombres.

Cette page peut faire l'objet d'une initiation au tableur pour ces petites classes.

Approche

Tout part des nombres de 1 à 100 disposés régulièrement dans une grille de 10 x 10.

Elle est facile à construire avec un tableur:

Placez le 1 et le 2 et soulignez ces deux cases;

Tirez sur la petite accroche en bas à droite pour obtenir les nombres de 1 à 10;

En l'emplacement du 11, mettre: égal case du dessus plus 10;

Soulignez la case du 11 et tirez l'accroche vers le bas jusqu'à obtenir 91; et

Soulignez les cases de 11 à 91 et tirez l'accroche vers la droite pour remplir complètement le tableur.

Observations
Prendre le début de la grille avec trois cases par trois cases. Nous obtenons un carré presque magique: toutes les lignes passant par le centre produisent la même somme. Sur chaque ligne nous avons les mêmes dizaines (0 + 10 + 30), donc pas anormal d'avoir toujours 30 dans la somme, sauf pour la ligne horizontale qui se rattrape en comptant (10 + 10 + 10). Sur chaque ligne nous avons les mêmes unités (0 + 1 + 2), donc pas anormal d'avoir toujours 6 dans la somme, sauf pour la ligne verticale qui se rattrape en comptant (2 + 2 + 2).		Quatre sommes identiques du fait d'une sorte de symétrie autour du point central. La somme est égale à trois fois le central (cas où la grille commence par le 1).
Autre manière de comprendre ce résultat amusant: en faisant la somme de deux grilles de 3 x 3.
Compte tenu de la symétrie, il existe d'autres sommes identiques.	1 + 23 = 2 + 22 = 3 + 21 = 13 + 11 = 2 x 12 = 24 1 + 3 + 23 + 21 = 2 + 13 + 22 + 11 = 4 x 12 = 48

Propriétés
Cette propriété se retrouve quelle que soit la taille de la sous-grille carrée choisie pourvue qu'elle présente une case centrale, soit un nombre impair de cases par côté.
Le calcul de la somme magique n'est pas bien compliqué mais un peu risque à erreur. C'est ici la somme des nombres de 44 à 48 soit la somme des nombres de 1 à N = 48 diminué de la somme des nombre de 1 à m = 43. Or la somme des nombres de 1 à k est égale à ½ k (k + 1). Le calcul de M mérite attention: ici il faut ajouter deux dizaines alors que n = 5. Ne pas oublier de retrancher 1 pour se retrouver en M = 43 dans notre exemple.	Formulation Vérification: calcul détaillé M = 24 + 10(5 – 1)/2 – 1 = 24 + 20 – 1 = 43 N = 43 + 5 = 48 S_N = ½ 48 x 49 = 1176 S_M = ½ 43 x 44 = 946 S = 1176 – 946 = 230 Vérification: calcul direct S = 24 x 5 + 11/2 (25 – 5) = 120 + 130 = 230

Grille paire

Avec une sous-grille dont le nombre de cases est paire, le centre n'est plus une case.

La propriété demeure néanmoins à condition de faire la moyenne sur les deux sommes adjacentes.

Tableau du cumul des nombres
La grille contient les sommes cumulées des nombres: chaque case est la somme de tous les nombres qui précédent. Ainsi le dernier (5050) est la somme de tous les nombres de 1 à 100. Tous ces nombres font partie de la suite des nombres triangulaires. En observant les unités, tableaux du bas, nous sommes surpris par l'alternance des chiffres en passant d'une case à celle en dessous. Pas de magie! Voici une approche de l'explication.
Un exemple		3 => ½ 3 x 4 = 3 x 2 13 => ½ 13 x 14 = 13 x 7 23 => ½ 23 x 24 = 23 x 12
Selon que la dizaine est paire ou impaire le produit se termine par 6 ou 1.		3 x 2 => 6 13 x 7 => 1 23 x 12 => 6
Le principe repose sur le fait que dans une colonne les dizaines progressent d'une unité et l'unité reste identique.