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Carré magique 4 x 4

Formules génériques

 Liens entre chaque case. Équations dans le carré magique.

Attention: les formules génériques fournissent des carrés magiques, mais pas forcément un carré classique, avec les nombres qui se suivent de 4 à n².

Donnez-moi les formules tout de suite: génériques, différentielles

Les quatre cases centrales et les autres

Sur cet exemple de carré magique 4x4, avez-vous remarqué que la somme des cases centrales est 34, la somme magique. Il existe d'autres relations, faciles à montrer. Relations Sommes magiques Somme des quatre cases centrales = 34. Somme des quatre sommets = 34. Somme des cases médianes opposées = 34. Bilan en images En jaune la somme magique et en jaune et marron les égalités dites égalités chapeaux)

FORMULES générales – Élaboration

On choisit 7 nombres au hasard, les autres s'en déduiront automatiquement.

Nous choisissons les variables indépendantes des cases jaunes.

A	B	C	D
E	F	G	H
I	J	K	L
M	N	O	P

La valeur de M est déduite de la somme de la colonne qui vaut la constante magique 34.

Idem pour D et H en lignes.

M = 34 – (A + E + I)

D = 34 – (A + B + C)

H = 34 – (E + F + G)

A	B	C	D
E	F	G	H
I	J	K	L
M	N	O	P

La valeur de J se calcule sur la diagonale.

Puis N sur la colonne.

J = 34 – (M + G + D)

N = 34 – (B + F + J)

A	B	C	D
E	F	G	H
I	J	K	L
M	N	O	P

La suite nécessite la résolution d'un système d'équations.

Ou la connaissance a priori d'une propriété des carrés magiques: L + I = F + G

Nous allons développer la résolution du système d'équations; un très bon exercice!

Le calcul est assez simple, mais nécessite beaucoup de soins.

CALCULS
Ce que nous savons en fonction des variables indépendantes (A, B, C, E, F, G, I) Calcul de J et N en fonction des variables indépendantes

Équations et leur résolution
On cherche à exprimer les quatre cases blanches inconnues: Sommes horizontales, verticales et la diagonale.

Calcul des variables intermédiaires
Nous connaissons nos quatre inconnues, mais avec les variables intermédiaires a, b, c, d et e. Nous allons développer leur valeur en fonction des variables indépendantes.

Développement final
Nous connaissons nos quatre inconnues en fonction des variables intermédiaires a, b, c, d et e. Nous connaissons la valeur des variables intermédiaires en fonction des variables indépendantes. Reste à exprimer ces quatre inconnues en fonction des variables indépendantes.

Récapitulatif

AUTRES FORMULES génériques

Formules de Berholt ou différentielles

(élégance de la symétrie)

Variables indépendantes: A, B, C, D, a, b, c et d.

A - a	C + a + c	B + b - c	D - b
D + a - d	B	C	A - a + d
C - b + d	A	D	B + b - d
B + b	D - a - c	A - b + c	C + a

Outre les lignes, colonnes et diagonales, on trouve d'autres configurations magiques:

La somme magique est égale à A + B + C + D, les quatre carrés du centre.

Les quatre coins donnent une somme magique.

Les deux milieux et leurs opposés sont magiques.

Propriété des carrés magiques 4 x 4:

La somme de deux coins est égale à la somme des deux cases du milieu opposé:

Ex: (A – a) + (B + b) = (A – a + d) + (B + b – d)

Forme du chapeau: la somme de deux cases du centre est égale à celle des deux cases décalées sur les côtés:

Ex: (B) + (C) = (C - b + d) + (B + b - d)

Formules de Sallow généralisée

Variables indépendantes: A, B, C, D, a, b, c et d.

A	B + a	C + b	D + c
C + c + d	D + b	A + a	B - d
D + a - d	C	B + c	A + b + d
B + b	A + c	D	C + a

Somme magique: A + B + C + D + a + b + c

On retrouve les propriétés énoncées ci-dessus.

Voir Application au cas d'une date anniversaire incluse dans le carré

Formules pour les carrés pandiagonaux

Variables indépendantes : A, B, C et D

A + B + C - 17	17 - A	17 + A - B - D	17 - A – C + D
17 - B	17 - C	B + C + D - 17	17 - D
B + D - A	A + C - D	34 - A - B - C	A
34 - B – C - D	D	B	C

Somme magique: 34

Toujours les mêmes propriétés.

En plus, les pandiagonales sont magiques:

Ex: (B + D – A) + (17 - C) + (17 + A - B - D) + (C) = 34

Formules pour les carrés semi - magiques

Seules les lignes et colonnes forment la somme magique, pas les diagonales.

Variables indépendantes : de A à I

A+B+C+D+E+F+G+H+I+J-68	34-A-D-G	34-B-E-H	34-C-F-I
34-A-B-C	A	B	C
34-D-E-H	D	E	F
34-G-H-I	G	H	I

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