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Équations du troisième degré

x³ – a = 0

Exemples d'équations simples qui montrent la symétrie des trois racines par rotation de tiers de tour.

Équation x^3– 1 = 0 & x^3– 2 = 0
Voici les racines de chacune de ces équations: une réelle et deux complexes. La première donne les trois racines cubiques de l'unité: 1, j et j². La seconde donne celles de 2. Remarquez que les deux racines complexes sont égales à la racine réelle multipliées par les racines cubiques de l'unité. D'une manière générale, pour les racines sont: a, ja et j²a.

Illustration
Reportons ces valeurs sur un graphe. Points verts pour racine cubique de 1; Points rouge pour celles de 2. Les deux trios se retrouvent aux sommets de triangles équilatéraux. Chaque racine (sommet) se déduit des autres par rotation d'un tiers de tour. Les graphes en vert et en rouge représentent les courbes y = x^3 – 1 et y = x^3 – 2. Elles passent bien par les points d'ordonnées –1 et –2 pour x = 0.

Voir Quarts de tour

English corner

The symmetries of the solutions to x^3 − 2 = 0 We work in . Let a be the real cube root of 2, ie: and, . Note that j is a cube root of 1, and so j^3 = 1. The three solutions to x^3 − 2 = 0 (or roots of x^3 − 2) are the complex numbers a, aj and aj², forming the vertices of an equilateral triangle. The triangle has what we might call geometric symmetries: three reflections, a counter-clockwise rotation through 1/3 of a turn, a counter-clockwise rotation through 2/3 of a turn and a counter-clockwise rotation through 3/3 of a turn equal the identity symmetry.

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Suite	Résolution des équations du troisième degré par la méthode symétrique de Lagrange
Voir	Calcul – Index Équation du troisième degré – Résolution
Site	Symmetries of Equations: An Introduction to Galois Theory – Brent Everitt
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Equat3.htm