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Équations du troisième degré Recherche des solutions (1/2) Nous avons vu le cas du deuxième degré: résolution par la méthode de Lagrange introduisant les symétries. Trouver le cas de
symétries avec le troisième degré ne sera pas si simple … du moins la série
de calculs algébriques est
copieuse, mais sans grande difficulté pour qui maîtrise les identités remarquables. |
Galois et la première apparition de la notion de Groupe
"Soit une
équation donnée, dont a, b, c, …, sont les m racines. Il y aura toujours un
groupe de permutations des lettres a, b, c, …, qui jouira de la propriété
suivante: 1) que toute fonction
des racines, invariante par les substitutions de ce groupe, soit
rationnellement connue; 2) réciproquement,
que toute fonction des racines, déterminée rationnellement, soit invariante
par ses substitutions." Évariste Galois (1811-1832) qui
prouva que les équations de degré 5 ou plus
n'ont pas de solution avec radicaux. |
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Tableau de marche
pour suivre la démonstration. Il montre essentiellement la valse de
changement de variables. Ne cherchez pas à comprendre tout maintenant. Vous
reviendrez au tableau lors de l'exploration de la démonstration détaillée. Principe du changement de variable et de la descente vers le
deuxième degré Étapes de calcul |
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Degré |
Variable |
Coef. |
Opérations |
Résumé |
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3 |
x |
a |
Coefficients =
f(Racines). |
ai = f(xj) |
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y |
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Fonctions
symétriques en y. Introduisant la rotation
du tiers de tour (j et j²). Choix de y1y2 et y13
+ y23 (symétriques). |
yi = f(xj) |
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|
y |
a |
Expression en fonction des coefficients connus. |
yi = f(aj) |
|
2 |
Y = y3 |
a |
Équation du
deuxième degré en Y. |
Yi = f(aj) |
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X = x + a1/3 |
pq |
Équation en X sans
terme du deuxième degré. |
Xi = f(p,q) |
|
|
Y |
pq |
Expression en fonction des coefficients connus. |
Yi = f(p,q) |
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X |
y |
Valeurs de X en
fonction de y en réutilisant les propriétés des fonctions symétriques. |
Xi = f(yj) |
|
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X |
pq |
Expression avec les
valeurs calculées de Y donc de y en fonction de p et q. |
Xi = f(p,q) |
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x |
a |
Calcul avec x = X –
a1/3 et (p, q) remplacés par leur valeur. |
xi = f(aj) |
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Démonstration détaillée
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Équation générale classique.
Avec indices et
normalisation (division par a). |
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Factorisation avec ses trois
racines. |
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Égalisation coefficients à
coefficients |
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||
Nous choisissons les fonctions y en introduisant les racines cubiques
complexes de l'unité: 1, j et j2. Sorte de rotation par tiers de tour. |
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Recherche des combinaisons
symétriques. |
Ces deux
fonctions sont symétriques en xi
(la permutation des x ne change pas la valeur des y). |
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Notation pour simplification
(Indice indique la quantité de facteurs puis la
puissance impliquée). |
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Nous devons calculer ces
valeurs en fonction des a.
Elles sont présentes dans
certaines identités remarquables. |
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Retour sur les y en fonction
des coefficients de l'équation. Ceci est
faisable, car on démontre que tout polynôme symétrique permet ce calcul ne
faisant intervenir que les coefficients. |
) |
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Page
créée d'après le site indiqué de Jan Nekovar
Suite |
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Voir |
Calcul – Index
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Site |
Introduction à la
théorie de Galois et la géométrie algébrique par Jan Nekovar.
Le texte se poursuit avec: le quatrième degré, les polynômes symétriques, le
corps des racines d'équations, Groupes de Galois, résolution ou non des
équations par radicaux. |
Cette page |
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