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NOMBRES CROISSANTS, DÉCROISSANTS Ou Ascendants et descendants Définition: Nombres dont les chiffres successifs vont en
croissant: le suivant à droite est strictement plus grand que le précédent. Propriété: En multipliant un nombre croissant par 9, on
obtient un produit dont la somme des chiffres est strictement 9. Oui! Même
avec ce grand nombre:
Voir Brève 602
pour explications |
Anglais: numbers such
that no digit is exceeded by the digit to its left
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Croissants
ou décroissants, ils sont en nombre infini. La logique de construction est
évidente (indiquée en rouge). Tous les
chiffres sont différents et chacun plus grand strictement que le précédent
(ou plus petit). |
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Croissants 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25,
26, 27, 28, 29, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 45, 46, 47, 48, 49, 56, 57, 58, 59, 67, 68, 69, 78, 79, 89, 123, 124, 125, 126, 127,
128, 129, 134, 135, 136, 137, 138, 139, 145, 146, 147, 148, 149, 156, 157,
158, 159, 167, 168, 169, 178, 179, 189, 234, 235, 236,
… |
Décroissants 10, 20, 21, 30, 31, 32, 40, 41, 42, 43, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 80, 81, 82,
83, 84, 85, 86, 87, 90, 91, 92, 93, 94, 95,
96, 97, 98, 210, 310, 320, 321, 410, 420, 421, 430, 431,
432, 510, 520, 521, 530, 531,
532, 540, 541, 542, 543, 610, … |
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En base 3: 5. En base 5: 7, 8, 9, 13, 14, 19,
38, 39, 44, 69, 194, … |
En base 3: 6, 7, 21. En base 5: 10, 11, 15, 16, 17, 20, 21, 22, 23, 55, 80,
85, 86, 105, 110, 111, 115, 116, 117, 430, 555, 580, 585, 586, … |
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Le pannumérique
croissant (123 456 789), multiplié par 9, donne un produit comportant neuf 1,
soit une somme égale à 9. Tronqué par
la droite, mais restant croissant, et multiplié par 9, la somme des chiffres
reste égale à 9. La somme des
chiffres reste égale à 9 même si on tronque par la gauche ou par les deux
bouts ou par le centre; pourvu que le nombre reste croissant. |
Tronqué
par la droite
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Tronqué
par la gauche
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Tronqué
par les deux bouts ou par le centre
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Voir Pépites numériques
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La table de multiplication du 9
est simple. Elle peut se
résumer à une soustraction: 8 x 9 = 80 – 8 = 72 On sait
aussi que la somme des chiffres est égale à 9. D'ailleurs,
pour tous les multiples de 9, la somme des chiffres est égale à 9 ou un
multiple de 9. C'est d'ailleurs la base de la preuve par neuf. Oui, mais
avec des nombres plus grands, on devrait avoir 18, 27 … |
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Sur cette table de
multiplication par 9 des nombres à deux chiffres, on a coloré en jaune les
nombres dont la somme des chiffres est exactement 9; les autres sommant en
18. Outre la première ligne
avec unité nulle, on remarque qu'il s'agit de tous les nombres dont le
chiffre des unités est plus grand que celui des dizaines: nombres
croissants. |
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Observations Si la
propriété est intrigante, le pot-aux-roses est vite trouvé. On a vu que
multiplier par 9 revient à multiplier par 10 et à retrancher le nombre. Or, en
multipliant par 10, on décale tous les nombres d'un cran vers la gauche. En faisant
la soustraction 10N – N, les chiffres en haut et en bas sont les mêmes, mais
décalé d'un cran. Ceux du haut étant plus grands que ceux du bas puisqu'il
s'agit de nombres croissants Si bien que
pour tous les nombres sauf celui des unités, la différence ne produit pas de
retenue. |
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Formalisation Prenons le cas d'un
nombre à quatre chiffres; il sera évident de prolonger à neuf chiffres; le
plus grand nombre croissant étant 123 456 789. Avec la notation des
chiffres, on calcule chaque chiffre du résultat en tenant compte de la seule
retenue pour les unités. La somme de ces chiffres
est réduite à l'effet des retenues (10 – 1), les autres chiffres s'annulent. |
La
somme des chiffres du produit est égale à 9. |
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La somme des chiffres
d'un nombre croissant multiplié par 9 est strictement égale à 9. Les
nombres croissants sont en nombre limités. Il
y en a 511 de 1 à 123 456 789 dont 9 triviaux.
Exemple
de dénombrement pour deux chiffres:
Avec
trois chiffres, on trouverait que: Q3 = somme de 1 à 8 plus somme de 1 à 7 plus … plus
1, soit 28 + 21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 84. En termes de combinaisons:
choix de 3 parmi 9
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Anglais: How many k
digit numbers have their digits in increasing order?
How many
k-digit numbers with strictly increasing digits do exist?
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On prend le
plus petit nombre croissant et le plus grand; leur multiplication par 9
produit deux nombres, l'un étant le permuté de l'autre. |
12 x 9 = 108 89 x 9 = 801 123 x 9 = 1 107 789 x 9 = 7 101 12345 x 9 = 111 105 56789 x 9 = 511 101 12345678 x 9 = 111 111 102 23456789 x 9 = 211 111 101 |
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Les chiffres
de l'un sont les compléments à 10 des symétriques de l'autre. Soit, le
calcul indiqué dans ce tableau, avec exemple numérique en colonne de droite. |
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Nombres dont les chiffres se suivent et qui sont
divisibles par 2, 3, 5, … Comme 98 = 7
x 14 Testé
jusqu'à un million.
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Voir
Barre magique des
nombres premiers / Nombres pannumériques
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DicoNombre |
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