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NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 10/03/2010 |
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-Ý- FAQ - Foire
aux Questions |
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CALCUL |
/ Général |
/ Preuve par 9 |
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Pages Générales § Preuve par 9 - développements §
Preuve par 9 - Glossaire et en
savoir plus § Théorie des
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Rubrique Question Je ne me souviens plus comment l'on vérifie la justesse
d'une division en utilisant la preuve par neuf. Réponse Vous trouverez tout cela sur ma page en Preuve par 9, y compris pour débutants http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9.htm Exemple: Opération
Preuve par 9
Les cellules grises matérialisent la croix que
l'on dessine habituellement |
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Rubrique Question Pouvez-vous m'expliquer simplement la preuve par 9 d'une division avec le système à croix ? Réponse En cinq temps Pour expliquer pas à pas A) Rappel du calcul de la racine numérique R On ajoute tous les chiffres Mêmes ceux qui arrivent au cours du calcul On élimine les neufs (considérés comme 0) Exemple: 4567 On élimine 4 et 5 dont la somme donne 9 Il reste 6 + 7 = 13 À son tour 13 donne 1 + 3 = 4 La racine numérique R de 4567 est égale à 4 B) Opération et son image Si une opération est juste son image avec les racines numériques est juste elle aussi Exemple: Opération: 12 + 56 = 68 Racines numériques des nombres 12 => 3 56 => 11 => 2 68 => 14 => 5 Image de l'opération avec les racines numériques 3 + 2 = 5 C) La division Si on divise a par b on obtient un quotient q et un reste r Avec la relation suivante: a = b . q + r La preuve par 9 de la division consiste à vérifier que l'image de cette opération est juste Exemple: Opération 257 divisé par 7 donne 36 avec 5 pour reste 257 = 7 x 36 + 5 Racine numérique des nombres 257 => 5 7 => 7 5 => 5 Image de l'opération 5 = 7 x 0 + 5 D) En pratique On peut s'aider du dessin d'une croix en X La gauche concerne le nombre à diviser, on y place le 5 venant de 257 Le haut concerne le diviseur, on y place le 7 Le bas concerne le quotient, on y place le 0 venant de 36 À droite on reproduit l'opération image de 7 x 36 + 5 Soit: 7 x 0 + 5 = 5 Attention de ne pas oublier le reste 5 On vérifie si les chiffres de droite et de gauche sont égaux E) Attention S'il n'y a pas égalité, la division est fausse S'il y a égalité, la division a de grandes chances d'être juste, mais ce n'est pas une certitude Tout cela sur ma page Preuve par 9 pour débutants en http://villemin.gerard.free.fr/Calcul/Preuve9.htm |
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Rubrique Question Est-ce que la preuve par 9 marche avec les
nombres à virgule ? Réponse Autant le dire tout
de suite: La preuve par 9 est assez universelle: Elle fonctionne pour toutes les opérations et pour tous les
nombres 1) LE REPRÉSENTANT PAR 9 D'UN NOMBRE (on "racine numérique" d'un nombre) Dans la preuve par 9, on remplace un nombre de plusieurs chiffres par son CONCENTRÉ en 1 seul chiffre, c'est le REPRÉSENTANT du grand nombre Pour obtenir ce représentant, on ajoute tous les chiffres Une astuce: on peut remplacer tous les 9 par zéro Exemples: 123 donne 6 1234 donne 1 2134 donne aussi 1 123456789 donne 45 qui lui même donne 9 qui finalement peut être remplacé par 0 On peut aller plus vite en remarquant: 1 et 8 donne 9, 2 et 7 même chose, etc. 2) LA PREUVE PAR NEUF Voici une propriété qui est étonnante: Les opérations faites avec les REPRÉSENTANTS
sont à l'image de celles faites avec les NOMBRES qu'ils représentent Exemples 10 + 25 = 35 => image avec les représentants: 1 + 7 = 8 71 - 18 = 53 => image avec les représentants: 8 - 0 = 8 11 x 12 = 131 => image avec les représentants: 2 + 3 = 5 80 / 20 = 4 => image avec les représentants: 8 / 2 = 4 Pour la division, c'est parfois un peu plus compliqué (voir les
pages indiquées ci-dessous) 3) LA PREUVE PAR NEUF des nombres à virgules (nombres décimaux) Le représentant d'un nombre est le même que le nombre contienne une virgule ou non Exemples 123 donne 6 1,23 donne 6 12,3 donne 6 123456789 donne 45 1234,56789 donne 45 La propriété magique marche toujours: Les opérations faites avec les représentants sont à l'image de celles faites avec les nombres qu'ils représentent que ces nombres soient entiers ou décimaux 1,0 + 2,5 = 3,5 => image avec les représentants: 1 + 7 = 8 10 + 2,5 = 12,5 => image avec les représentants: 1 + 7 = 8 10 + 0,25 = 10,25 => image avec les représentants: 1 + 7 = 8 11 x 1,2 = 13,1 => image avec les représentants: 2 + 3 = 5 Donc: la preuve par 9 marche également avec les nombres à virgule Il y a simplement un défaut, la preuve par 9 ne teste pas la place de la virgule 4) LA PREUVE PAR NEUF et ses limitations On vient de voir que la preuve par 9 ne teste pas la position de la virgule dans les opérations avec nombres décimaux Plus grave: La preuve par neuf ne teste pas les possibles
inversions de chiffres Le représentant a des limites: il est le même pour 123, 231 ou 321 Exemple 10 + 25 = 53 => image avec les représentants: 1 + 7 = 8 L'opération image est juste mais pas l'originale Même problème s'il y deux erreurs qui se compensent 4) CONCLUSIONS La preuve par 9 permet de tester les
opérations et d'y déceler une erreur grossière Elle marche même avec les nombres décimaux En savoir plus voir mes pages en Preuve par 9 - Glossaire et en savoir plus |
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