Médianes concourantes, démonstrattions diverses

Édition du: 31/08/2022

INDEX Types de triangles Triangle Géométrie	Triangle: Droites remarquables
	Droites et points	Bissectrices	Médianes – Propriétés (1)
	Point Milieu	Médiatrices	Médianes – Partage (2)
	Point et triangles	Hauteurs	Médianes – Démo (3)
	Distances	Triangle médian	Médianes – Démo vecteurs (4)
	Céviennes régulières		Médianes – Démo autres (5)

MÉDIANES du TRIANGLE (5/5)

Démonstrations

Démonstrations à propos des médianes des triangles et de leur point de concours, le centre de gravité.

Sommaire de cette page

>>> Démo – Calculs d'aires

>>> Démo – Descente infinie

>>> Démo – Proportions

>>> Démo – Droites parallèles

Débutants

Géométrie

Glossaire

Médianes

Démo – Calculs d'aires		haut
Construction Triangle ABC. Les médianes AE et BD; intersection en G La troisième médiane CH volontairement dessinée ne passant pas par G et créant une surface interne CGH Le but est de démontrer que son aire est nulle. Théorème Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire. Les trois médianes le partagent en six triangles de même aire (notés de 1 à 6).
Aires Le soulignement indique qu'il s'agit des aires	ACH + CHG + CGHB = ABC = 1 (comme référence)
Aire de ACH	CH est la médiane du triangle ABC: ACH = BCH = 1/2 CHG + CGHB = 1/2
Aire de CGHB	CGHG = 2 + 3 + 4 = 3 x (1/6) = 1/2
Aire de CHG	CHG + 1/2 = 1/2 CHG = 0

Démo – Descente infinie		haut
Construction Triangle ABC. Médianes AA', BB' et CC' Hypothèse Les trois médianes ne sont pas concourantes. Elles créent un petit triangle intérieur MPQ. Idée Tous les triangles médians successifs ont les mêmes médianes et l'aire de chacun est égale à 1/4 du triangle mère. Démonstration Lors de la création de tous les triangles médians successifs, les médianes sont invariantes et, avec elles, le triangle MPQ. Or, ce triangle reste interne au triangle qui le crée. L'aire du triangle médian est égale à 1/4 de celle du triangle mère. L'aire du triangle MPQ reste inférieure à celle-là.	Mise en évidence du triangle hypothétique MPQ Zoom sur les triangles médians successifs
Au rang n:
Quand n tend vers l'infini:

Démo – Proportions

haut

Construction

Triangle ABC. Médianes BB' et CC'.

Parallèle C'D à BB'.

Idée

Propagation de proportions via les triangles semblables colorés.

Démonstration

Les triangles ABB' et AC'D sont semblables.
Le point D est le milieu de AB'.

Alors: B'D = 1/3 CD.

Les triangles CDC' et CB'G sont semblables.
Alors GC' = 1/3 CC'.

Le point G est sur la médiane CC' au 1/3 de la distance.

Avec la médiane AA' (au lieu de BB'), on trouverait que le point K est au 1/3 de CC', dit autrement K et G sont confondus. G est unique.

Démo – Droites parallèles		haut
Construction Triangle ABC. Point B' milieu de AC. Points M et P milieux de AB' et B'C. Parallèles en ces points à BB'. Intersection en C'. Droite CC'. Idée Si une sécante coupe des parallèles selon des segments égaux, toute autre sécante en fera autant. Démonstration
Sécante AC:	Segments égaux: AP = PB' = B'M = MC
Conséquence sur sécante CC':	Segments égaux: C'G = GH = HC
Triangle ABB':	Le point P est le milieu de AB' C'P // BB' Le point C' est le milieu de AB. CC' est une médiane.
Point G:	Le point G est le point de concours de deux médianes (BB' et CC').
Autres faisceau de parallèles	Même raisonnement avec une autre série de parallèles qui donne le même pont G.
En prime	G est situé au 2/3 de CC' en partant du sommet C.

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Voir	DicoMot DicoNombre Droite de Simson Droite d'Euler Éléments de géométrie	Triangle – Débutants, novices Médianes – Glossaire Triangle – Index Cercle Losange et son cercle inscrit
Sites	Médianes dans un triangle – Comme exercice de 4^e (avec le formalisme requis) Point de concours des médianes – Bibm@th Les médianes d’un triangle – Questions types du bac The Medians – Cut-The-Knot – Preuve par descente infinie Proof That the Medians of a Triangle are Concurrent – Michael McCallum Concurrence of Medians (1 of 2: Proof via similar triangles) – Eddie Woo – Vidéo My Transversal is Longer Than Yours!? – Richard Francisco The Medians of a Triangle Are Concurrent: A Visual Proof – Wolfram
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