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RECTANGLE et CERCLE

Cas d'intersection dans un quadrant

Nous allons montrer les calculs pas à pas. Ici, nous allons procéder en doublant la figure par symétrie, ce qui facilite un peu les calculs.

Nous rappelons que nous considérons l'intersection d'un disque avec un rectangle de grande dimension qui glisse vers la droite. Dis autrement, le coin bas-droit du rectangle est dans le quadrant haut-gauche du disque. Ou, toutes les autres configurations du même type obtenues par rotation ou symétries.

Rectangle dans un seul quadrant
Calcul de l'aire de A (en jaune sur la figure), intersection ABC d'un rectangle avec le cercle dans un seul quadrant. Nous dessinons son symétrique A'B'D de sorte que: 2A = Aire S du segment AA'DC – Aire centrale BB'DC et Aire centrale = aire C du rectangle BB'DC + aire B du segment CDH' En bref: 2A = S – (B + C)
Pour info: aire du demi-cercle de rayon 8		= 100,53…
Aire du segment S		S = 68,86…
Dans le triangle OCH' (Théorème de Pythagore)	h² = OH'² = R² – x²	h = 7,41…
Aire du segment B		B = 2,35…
Largueur du rectangle BB'DC	L = HH' = OH' – OH	L = 5,41…
Aire du rectangle		C = 32,49…
Aire de l'intersection A	A = ½ (S – B – C)	A = 17,01…
Formule complète

Voir Abaque

Bilan

Connaissant l'aire du segment ce calcul est relativement simple. La seule petite difficulté est le calcul de l'arc cosinus x qui est l'angle en radians tel que son cosinus est égal à x. Une calculette fera l'affaire avec la fonction inverse du cosinus.

Certes, les calculs sont copieux, surtout si on a besoin de nombreuses évaluations. Un abaque peut parfois suffire.

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