NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 06/07/2023

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Actualités                       M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique        Références      Brèves de Maths

             

NOMBRES

 

Débutants

Nombres et

Puissances de 10

PUISSANCES

 

Glossaire

Puissances

 

 

INDEX

 

Puissance

 

Décomposition

Calculs pratiques

Multi-puissances

Exposants

Consécutives

Nombres puissants (2-P, 3-P)

Liste des puissants

 

Sommaire de cette page

>>> Types de nombres "puissants"

>>> Cas des nombres de 1 à 100

>>> Listes

>>> Quantités

>>> Nombres puissants qui différent de 2

>>> Nombres puissants en n² – 1

>>> Nombres en n² + 2

 

 

 

 

NOMBRES PUISSANTS

Powerful numbers

 

Nombres qui comportent certaines puissances dans les exposants de leur factorisation.

Voir Nombres puissants,  plénipotents … comme introduction à cette page.

 

 

 

Types de nombres "puissants"

Explications

*       Un nombre composé est le produit unique de facteurs.

*       Chacun des facteurs est utilisé une seule fois ou plusieurs fois:

*    S'ils ne sont jamais utilisés deux fois, le nombre est dit sans carré.

*    Avec un facteur au carré, ou plus, c'est un nombre avec carré.

*    Avec tous ses facteurs au carré, ou plus, c'est un nombre puissant.

*     Il est 2-puissant s'il existe un exposant au moins égal à 2;

*     Il est 3-puissant s'il existe un exposant au moins égal à 3;

*     Il est k-puissant s'il existe un exposant au moins égal à k;

 

Illustration

 

Définition

Un nombre est k-puissant si, étant divisible par p, il l'est aussi par pk.

 

k est l'exposant le plus petit supérieur à 1.

Ainsi 200 est 2-puissant.

Et, 100 est un carré; il est aussi 2-puissant.

 

 

 

Cas des nombres de 1 à 100

Légende

N de 1 à 100

Avec leurs facteurs

En rouge les puissances pures

 

SF = sans carré

2-pw = 2-puissant; autres 2-p avec un carré;

3-pw = 3-puissant; autres 3-p avec un cube;

 

 

Listes

Nombres simples

ou sans carré

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 46, 47, 51, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 73, 74, 77, 78, 79, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 93, 94, 95, 97, 101, …  >>>

Nombres puissances

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 216, 225, 243, 256, 289, 324, 343, 361, 400, 441, 484, 512, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1000, … >>>

Nombres puissants

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000, 1024, 1089, 1125, 1152, 1156, 1225, 1296, 1323, 1331, 1352, 1369, 1372, 1444, 1521, 1568, 1600, 1681, 1728, 1764, 1800, 1849, 1936, 1944, 2000, 2025, 2048, 2116, 2187, 2197, 2209, 2304, 2312, 2401, 2500,  

Nombres puissants mais non-puissances

72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968, 972, 

Ex: 72 = 23 × 32 / 108 = 22 × 33

Nombres avec carré et non 2-puissant

12, 18, 20, 24, 28, 40, 44, 45, 48, 50, 52, 54, 56, 60, 63, 68, 75, 76, 80, 84, 88, 90, 92, 96, 98, 99, 104, 112, 116, 117, 120, 124, 126, 132, 135, 136, 140, 147, 148, 150

Nombres puissants ou

Nombres 2-puissants

2-powerful number

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, …

Nombres avec cube et non 3-puissant

24, 40, 48, 54, 56, 72, 80, 88, 96, 104, 108, 112, 120, 135, 136, 144, 152, 160, 162, 168, 176, 184, 189, 192, 200, 208, 224, 232, 240, 248, 250, 264, 270, 272, 280, 288, 296, 297, 304, …

Nombres 3-puissants

3-powerful number

1, 8, 16, 27, 32, 64, 81, 125, 128, 216, 243, 256, 343, 432, 512, 625, 648, 729, 864, 1000, 1024, 1296, 1331, 1728, 1944, 2000, …

 

 

Quantités de nombres k-puissant par plage en 10k

Plage

2-p

3-p

4-p

5-p

10

49

216

625

2 048

100

3 136

52 488

583 443

5 038 848

1 000

253 472

25 153 757

 

 

10 000

23 002 083

16 720 797 973

 

 

Exemple:  216 est le dixième nombre 3-puissant

 

Somme cumulative des nombres puissances

Quantité de nombres puissants par plages en puissances de 10

 

Exemple de lecture

k = 2 => il y a 14 nombres puissants jusqu'à 10² = 100: il sont 54 jusqu'à 1000.

Voir Somme des puissances

 

 

Nombres puissants qui différent de k

 

Il existe une infinité de couples de nombres puissants consécutifs.

 

Les couples qui différent de deux unités sont rares.

 

Il n'existe pas trois nombres puissants consécutifs – Conjecture d'Erdös

 

 

Nombres puissants ave écart de 1 jusqu'à 100 000

8 / 9, 288 / 289, 675 / 675, 9 800 / 9 801,

12 167 / 12 168

 

Nombres puissants ave écart de 2

25, 70 225, 130 576 327, 189 750 625,

512 706 121 225, 13 837 575 261 123,

99612 037 019 889, …

 

Nombres puissants ave écart de 3

1, 125, 1 369 (seuls jusqu'à 10 millions).

Voir OEIS A076445 – The smaller of a pair of powerful numbers that differ by 2.

 

Nombres puissants en n² – 1

 

Liste des nombres puissants

en n² – 1 .

3

17

26

99

485

577

1 351

3 363

19 601

24 335

70 226

114 243

470 449

665 857

930 249

9

289

676

9 801

235 225

332 929

1 825 201

11 309 769

384 199 201

592 192 225

4 931 691 076

13 051 463 049

221 322 261 601

443 365 544 449

865 363 202 001

23

25 • 32

33 • 52

23 • 52 • 72

23 • 35 • 112

27 • 32 • 172

24 • 33 • 52 • 132

23 • 292 • 412

25 • 34 • 52 • 72 • 112

25 • 32 • 132 • 233

35 • 52 • 172 • 532

2^3 • 134 • 2392

25 • 35 • 52 • 112 • 972

29 • 32 • 172 • 5772

24 • 53 • 112 • 31^2 • 612

 

 

 

Nombres puissants en n² + 2

Liste des nombres puissants en n² + 2

 

Ils sont en quantité infinie (F. Luca).

5

265

13 775

716 035

9 980 583

37 220 045

27

70 227

1897 50 627

512 706 121 227

99 612 037 019 891

1 385 331 749 802 027

33

35 • 172

33 • 112 • 2412

33 • 412 • 33612

113 • 273 5692

37 • 172 • 46 8172

Voir OEIS A175180 – Numbers n such that n^2 + 2 is powerful

 

 

 

Suite

*         Nombres puissants jumeaux (question au Bac)

*         Nombres sans et avec facteurs carrés

*         Nombres puissants ou plénipotents

*         Nombres puissants au bac

*         Exposants à étages

*         Nombres idéonaux

*         Nombres multi-puissants

*         Puissances et chiffres permutés

*         Puissances et racines

*         Puissances – Table de valeurs

Voir

*         PuissanceIndex

*         Puissances de 2

*         Puissances de 2 à 5

Site

*         OEIS A001694 - Powerful numbers, definition: if a prime p divides n then p^2 must also divide n (also called squareful, square full, square-full or 2-powerful numbers).

*         Powerful Numbers – Wolram MathWorld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/PUISSANC/Powerful.htm