Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 13/02/2020

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Nombres à motifs

 

Types de nombres

 

 

Types de Nombres – Motifs

Uniformes

Ondulants

Répétitions

Formes diverses

Ascendants

Ondulants d'Euler

Zigzag (Euler)

Croissants

Zébrés

 

 

NOMBRES alternés d'EULER

Permutations alternées

Ondulants en 1, 2, 3, …

 

Nombres ondulants d'Euler: nombres formés à partir des permutations des chiffres de 1 à n, en ne retenant que celles qui commencent par croitre puis décroitre et croitre, etc.

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec n = 2 et  n = 3

>>> Cas n = 4, 5 et 6

>>> Liste

>>> Historique

>>> Calcul de An

 

Débutants

Nombres

 

Glossaire

Nombres

Anglais: Euler up and down numbers / Alternating permuations / Zigzag permuations / André's problem

 

 

Approche avec n = 2 et n = 3

haut

 

Cas de n = 2

Parmi les deux permutations, une seule est croissante (chiffres croissants).

 

[1, 2]  A2 = Quantité type Euler = 1

[2, 1]  P2 = Quantité de permutations = 2

 

Cas de n = 3

Il y a six permutations de [1, 2, 3] dont quatre sont alternées, mais seulement deux sont comptabilisées, car les deux premiers chiffres sont croissants.

 

P3 = 3! = 6 et A3 = 2

 

Cas de n = 4, n = 5 et n = 6

haut

 

n = 4

 

P4 = 4! = 24

 

A4  = 5

Permutations alternées

croissantes (directe ou up-down)

[1, 3, 2, 4]

[1, 4, 2, 3]

[2, 3, 1, 4]

[2, 4, 1, 3]

[3, 4, 1, 2]

 

Permutations alternées

décroissants (inverse ou down-up)

[2, 1, 4, 3]

[3, 1, 4, 2]

[3, 2, 4, 1]

[4, 1, 3, 2]

[4, 2, 3, 1]

 

 

 

n = 5

 

P5 = 5! = 120

 

A5  = 16

 

Illustration

graphique è

[1, 3, 2, 5, 4]

[1, 4, 2, 5, 3]

[1, 4, 3, 5, 2]

[1, 5, 2, 4, 3]

[1, 5, 3, 4, 2]

[2, 3, 1, 5, 4]

[2, 4, 1, 5, 3]

[2, 4, 3, 5, 1]

[2, 5, 1, 4, 3]

[2, 5, 3, 4, 1]

[3, 4, 1, 5, 2]

[3, 4, 2, 5, 1]

[3, 5, 1, 4, 2]

[3, 5, 2, 4, 1]

[4, 5, 1, 3, 2]

[4, 5, 2, 3, 1]

 

 

 

n = 6

 

P6 = 6! = 720

 

A6 = 61

 

[1, 3, 2, 5, 4, 6]

[1, 3, 2, 6, 4, 5]

[1, 4, 2, 5, 3, 6]

[1, 4, 2, 6, 3, 5]

[1, 4, 3, 5, 2, 6]

[1, 4, 3, 6, 2, 5]

[1, 5, 2, 4, 3, 6]

[1, 5, 2, 6, 3, 4]

[1, 5, 3, 4, 2, 6]

[1, 5, 3, 6, 2, 4]

[1, 5, 4, 6, 2, 3]

[1, 6, 2, 4, 3, 5]

[1, 6, 2, 5, 3, 4]

[1, 6, 3, 4, 2, 5]

[1, 6, 3, 5, 2, 4]

[1, 6, 4, 5, 2, 3]

 [2, 3, 1, 5, 4, 6]

[2, 3, 1, 6, 4, 5]

[2, 4, 1, 5, 3, 6]

[2, 4, 1, 6, 3, 5]

[2, 4, 3, 5, 1, 6]

[2, 4, 3, 6, 1, 5]

[2, 5, 1, 4, 3, 6]

[2, 5, 1, 6, 3, 4]

[2, 5, 3, 4, 1, 6]

[2, 5, 3, 6, 1, 4]

[2, 5, 4, 6, 1, 3]

[2, 6, 1, 4, 3, 5]

[2, 6, 1, 5, 3, 4]

[2, 6, 3, 4, 1, 5]

[2, 6, 3, 5, 1, 4]

[2, 6, 4, 5, 1, 3]

[3, 4, 1, 5, 2, 6]

[3, 4, 1, 6, 2, 5]

[3, 4, 2, 5, 1, 6]

[3, 4, 2, 6, 1, 5]

[3, 5, 1, 4, 2, 6]

[3, 5, 1, 6, 2, 4]

[3, 5, 2, 4, 1, 6]

[3, 5, 2, 6, 1, 4]

[3, 5, 4, 6, 1, 2]

[3, 6, 1, 4, 2, 5]

[3, 6, 1, 5, 2, 4]

[3, 6, 2, 4, 1, 5]

[3, 6, 2, 5, 1, 4]

[3, 6, 4, 5, 1, 2]

[4, 5, 1, 3, 2, 6]

[4, 5, 1, 6, 2, 3]

[4, 5, 2, 3, 1, 6]

[4, 5, 2, 6, 1, 3]

[4, 5, 3, 6, 1, 2]

[4, 6, 1, 3, 2, 5]

[4, 6, 1, 5, 2, 3]

[4, 6, 2, 3, 1, 5]

[4, 6, 2, 5, 1, 3]

[4, 6, 3, 5, 1, 2]

[5, 6, 1, 3, 2, 4]

[5, 6, 1, 4, 2, 3]

[5, 6, 2, 3, 1, 4]

[5, 6, 2, 4, 1, 3]

[5, 6, 3, 4, 1, 2]

 

Liste des valeurs successives de An

haut

 

Nombres ondulants d'Euler (Qe)

A0 = 1

A5 = 5

 

1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, 370371188237525, 4951498053124096, 69348874393137901, 1015423886506852352, 15514534163557086905, 246921480190207983616, 4087072509293123892361, …

 

 

Historique

haut

 

Ce type de permutations alternées fut étudié par  Désiré André (1840-1917), un mathématicien français.

 

En 1895, il écrit: Mémoire sur les permutations quasi-alternées.

 

Le calcul de la quantité de permutations alternées (An) est appelé le problème d'André (1879)

 

 

André définit une permutation alternée en faisant la différence entre les chiffres successifs et en constatant l'alternance des signes.

 

Problème d'André – Calcul de An

haut

 

La fonction génératrice des nombres An est simplement le développement de la somme de sécante (x) et tangente (x).

 

Théorème d'André

An = numérateur de chacune de ces fractions non simplifiées avec pour dénominateurs une factorielle.

 

A2n sont les nombres sécants

A2n+1 sont les nombres tangents

 Voir Nombres zigzags d'Euler

 

 

 

 

 

 

Haut de page

 

Retour

*      Ondulants

Suite

*      Nombres zigzags d'Euler (suite de cette page)

*      Brève 429

Voir

*      Nombres à motifsIndex

*      Fonctions génératrices

*      Boustrophédon

Sites

*      Alternating permutation – Wikipedia

*      Alternating permutation – Wolfram MathWorld

*      OEIS A000111 – Euler or up/down numbers: e.g.f. sec(x) + tan(x). Also for n >= 2, half the number of alternating permutations on n letters

*      OEIS A001250 – Number of alternating permutations of order n

*      Alternating Permutations** – Richard P. Stanley – M.I.T. – Preuve du théorème d'André – Diaporama de 119 pages

*      A Survey of Alternating Permutations** – Richard P. Stanley -  La théorie en pdf de 32 pages

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/aNombre/MOTIF/OndEuler.htm