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Édition du: 28/03/2023 M'écrire Brèves de Maths

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		Cheval

Le cheval qui sauve le chien Un problème qui permet d'aborder plusieurs notions: les vitesses, le minimum d'une fonction, et la loi de la réfraction en physique.
	Sommaire de cette page >>> Problème >>> Solution >>> Graphe	Débutants Dénombrement Glossaire Combinatoire

Énigme du chien et du cheval
Le héros (en A) veut porter secours à son chien dans les marécages (en B), sachant que son cheval y progresse une fois et demi plus lentement que sur la terre ferme. Quelle est la route la plus rapide pour sauver le chien à temps? On donne: AA' = A'B'= BB' = 1 On pose: A'M = x et v, la vitesse dans le marécage

Solution
Temps de parcours à minimiser	t = tAM + tMB
En multipliant par 1,5 v, une constante. Le problème revient à minimiser F.	1,5 v . t = AM + 1,5 MB = F
Évaluation des distances	AM² = 1+ x² MB² = 1 + (1-x)² = 2 – 2x + x²
Expression de F	F =
Sa résolution donne la valeur minimale de x	Fmin = 2, 781245361… pour x = 0,6231997971…

Résolution graphique
Tracé de la fonction F pour l'intervalle [0,1] . Le minimum se situe légèrement après x = 0,6 Tracé de la fonction F pour l'intervalle [0,622 à 0,624] . Le minimum se situe légèrement en x = 0,6232 La valeur en y (ordonnée) donne F = 1,5 v . t = 2,781… Si la vitesse v dans les marécages est égale à 1, le temps mis pour aller de A à b sera égal à t = 2,781…/1,5 = 1,854 …

Angles

tan alpha = alpha = sin alpha =	0,623 … 0,557… = 31,62…° 0,528…
tan béta = béta = sin béta =	1 – 0,623 … 0,360… = 20,65…° 0,352…
sin alpha / sin béta =	1,5

Le rapport des sinus des angles est égal au rapport entre les vitesses.

Bilan

Il est curieux de trouver un problème de ce type qui, en fait, ressemble aux problèmes d'optique et dont la résolution fait appel aux lois de la réfraction de Descartes .

Voir	Voir haut de page Graphe – Index
Aussi	Partage – Énigmes classiques Énigmes – Index
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