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Énigmes de Pesées

 

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Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Passage de trois à quatre billes

>>> Énigme des quatre billes

>>> Solution

>>> Solution commentée

>>> Cas de trois billes plus une

 

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

 

Énigme de la pesée des QUATRE BILLES

ou BALLES, BOULES, PIÈCES

 

Une petite énigme simple avec d'aborder l'énigme réputée impossible des douze billes. Avant la lecture de cette page vous pouvez commencer par l'énigme encore plus simple des neuf billes.

La résolution n'est pas très compliquée, mais source d'observations utiles pour la résolution d'énigmes plus complexes.

 

Nous découvrirons qu'avec quatre billes:

*      dont l'un est plus lourde, deux pesées suffisent;

*      dont l'une est plus lourde ou plus légère, c'est impossible en deux pesées; et

*      dont l'une est connue et parmi les trois autres une est plus lourde, normale ou plus légère, alors c'est faisable en deux pesées. Extension possible à cinq billes.

 

 

 

Passage de trois à quatre billes – Mono

Avec trois billes dont l'une est plus lourde, nous savons détecter la bille fautive.

 

Avec quatre billes dont l'une est plus lourde que les trois autres, une seule pesée ne suffit pas, sauf coup de chance.

Avec deux pesées, il y alors plusieurs possibilités.

 

La méthode classique consiste à comparer les billes par groupes puis individuellement. C'est la méthode par dichotomie ou focalisation progressive sur la bille fautive.

 

Ici, c'est la bille 1 qui est la plus lourde.

Méthode classique

La méthode rapide consiste à comparer les biles deux à deux. Avec un peu de chance la seconde pesée n'est pas nécessaire.

 

Ici, c'est la bille 3 qui est la plus lourde.

 

 

Méthode rapide

La méthode astucieuse consiste à se servir des données acquises pour poursuivre les investigations. Elle sera mise à profit pour les cas concernant un grand nombre de billes.

 

Ici, la première pesée indique que les billes 1 et 2 sont standard. La bille 1 est réutilisée pour la comparer à 3. Ici, la bille 3 se trouve la plus lourde. En cas d'équilibre en seconde pesée, la bille 4 est la plus lourde.

Méthode astucieuse

 

Je réfléchis …

Avec la première pesée, il y a trois issues (+, = , –)

Pour chacune de ces pesée, il y a trois issues (+, = , –)

Pour les deux pesées, il a donc neuf issues. Largement plus qu'il n'en faut pour trouver la plus lourde parmi quatre billes.

Et si la bille fautive était plus ou plus légère sans qu'on le sache, il y aurait huit conclusions possibles. Huit possibilités pour neuf issues de pesées ça devrait marcher …sauf contrainte inattendue !

 

 

 

Énigme des quatre billes – Ambi

 

Vous disposez de quatre billes absolument identiques visuellement.

Une parmi les quatre est plus lourde ou plus légère (ambivalence), mais nous ne savons pas.

En deux pesées sur une balance à deux plateaux (type Roberval ou trébuchet), trouvez l'intrus et sa nature.

 

 

Exemple de pesée

Mais est-ce le bon départ ? Non !

 

 

 

 

Solution  - Oui mais …

Le tableau des issues des deux pesées se présente de cette manière.

 

Voyons ce que l'on peut en tirer.

 

Sur le dessin:

Bille noire: lourde

Bille verte: légère

Bille jaune: fautive

Bille 1 lourde

P1: le plateau gauche descend

P2: le plateau gauche descend

+ +

Bille 1 légère

P1: le plateau gauche monte

P2: le plateau gauche monte

– –

Bille 2 lourde

P1: le plateau gauche monte

P2: plateaux en équilibre

– 0

Bille 2 légère

P1: le plateau gauche monte

P2: plateaux en équilibre

+ 0

Bille 3 lourde

P1: plateaux en équilibre

P2: le plateau gauche monte

0 –

Bille 3 légère

P1: plateaux en équilibre

P2: le plateau gauche descend

0 +

Bille 4 indéterminée

P1: plateaux en équilibre

P2: plateaux en équilibre

0 0

 

Remarquez

Les conclusions "plus lourde" ou "plus légère" pour une bille sont opposées en signe: "plus" pour l'une devient "moins" pour l'autre.

Remarque qui sera utile pour les énigmes plus complexes.

 

 

Solution commentée

 

Le tableau des issues de pesées

Ce tableau montre un résumé de la situation. Le signe + indique que le plateau gauche descend et le signe – qu'il monte; le 0 indique l'équilibre.

Associé aux billes, le signe  + indique plus lourd et le signe – moins lourd.

 

Observations

*      Les neuf issues ne suffisent pas à identifier les quatre billes: la bille 4, non pesée, peut être détectée comme fautive sans qu'on puisse en déterminer la nature;

*      Pourtant deux issues de pesées ne sont pas exploitées. Eh oui, elles donnent des résultats contradictoires.

 

 

Notez que: une bille peut être ++ ou – –

Elle peut être associée à un 0 neutre.

Mais, jamais associée à  deux signes contraires: elle ne peut pas être à la fois lourde et légère. 

 

 

Cas de trois billes + une

Parmi les quatre billes

*      1 normale connue (disons la 4)

*      2 normales inconnues

*      1 qui peut être normale, plus lourde ou plus légère

 

 

Avec deux pesées, il est possible de les discriminer comme indiqué sur l'illustration.

 

 

En bas des cases vertes, on note la conclusion de la pesée.

En bas des cases roses, on indique la conclusion de la pesée selon le mouvement des plateaux.

 

Cas de quatre billes + une

Parmi les cinq billes

*      1 normale connue (disons la 5)

*      3 normales inconnues

*      1 qui peut être normale, plus lourde ou plus légère

 

Avec deux pesées, il est possible de les discriminer comme indiqué sur l'illustration.

La méthode est rigoureusement identique à celle exposées ci-dessus pour 3 billes  + 1, avec les différences suivantes:

*      la bille supplémentaire, disons 5, est laissée de côté lors de la première pesée

*      en cas d'équilibre, la seconde pesée entre 4 et 5 permet de dire si la bille 5 ajoutée est plus lourde ou plus légère ou … normale.

 

 

 

 

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