NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Énigmes de Pesées

 

Débutants

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BILLES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Jeux, énigmes

 

Débutants

Introduction

Dix Sacs

Six poids

9 billes (mono)

4 billes (ambi)

Poids-étiquettes

Autres pesées

12 par dichotomie (ambi)

12 par combinaisons (ambi)

12 billes (++)

 

Sommaire de cette page

>>> Les six poids et leurs étiquettes

>>> Le bonimenteur et les poids devinés
          3 Poids,   4 Poids,   5Poids,   6Poids

>>> Bilan

Mono: une bille est plus lourde (ou plus légère)

Ambi: une bille  est plus lourde ou plus légère sans que nous le sachions a priori

 

 

 

Énigmes de poids

avec étiquettes mélangées

 

Le prétexte de l'énigme est étrange, mais il se prête à quelques énigmes nécessitant un raisonnement logique.

On commence avec des poids dont la valeur est connue par un étiquetage, mais les étiquettes ont été mélangées.

Suit une énigme où un bonimenteur connaissant les valeurs des poids, fait l'expérience devant un public de les retrouver par un minimum de pesées.

 

 

 

Les six poids et leurs étiquettes

 

Six poids de 1 à 6 unités sont enfermés dans des boites identiques.

On y a apposé une étiquette de 1 à 6.

En deux pesées, pouvez-vous vérifier que chaque étiquette correspond bien au poids qui est dans la boite ?

Note: on ne demande pas de remettre les étiquettes en place.

 

Les six poids et les six boites avec étiquettes (vraies ou fausses)

 

La première pesée

Elle se base sur le fait que: 1 + 2 + 3 = 6, seule possibilité.

Elle permet de départager deux lots:

 

*    S'il n'y a pas équilibre, la réponse est immédiate: les étiquettes sont mal placées.

*    S'il y a équilibre, on tire les conclusions suivantes:

- étiquette 6: bien placée;

- étiquettes (1, 2 et 3) en désordre sur les poids A, B et C; et

- étiquettes (4 et 5) en désordre sur les poids D et E.

 

 

Les poids dans les boites corespondent-ils à la valeur indiquée sur l'étiquette ?

Oui, s'il y a équilibre.

 

La seconde pesée

 

Elle est plus subtile. Elle utilise le poids F = 6 qui est maintenant connu.

 

On installe:

*    sur le plateau gauche, une boite du lot (1, 2, 3), disons A et aussi la boite F = 6 (référence), et

*    sur le plateau droit, une boite de chaque lot, disons C et E.

 

Si les étiquettes étaient à la bonne place, cette pesée donnerait: 1 + 6 = 7  versus 3 + 5 = 8 et la balance pencherait à droite. Bien!

Mais, existe-t-il d'autres possibilités ?

 

En faisant la revue de toutes les associations d'étiquettes aux valeurs possibles, la seule qui fera pencher la balance à droite est celle qui est la bonne: 1 + 6 vs 3 + 5 (rouge)

Possibilités pour A = (1, 2, 3)

Possibilités pour C = (1, 2, 3)

Possibilités pour E = (4, 5)

 

Pesées possibles

1 + 6 = 7

vs 2 + 4 = 6 => penche à gauche
vs 2 + 5 = 7 => équilibre
vs 3 + 4 = 7 => penche à gauche
vs 3 + 5 = 8 => penche à droite

 

2 + 6 = 8

vs 1 + 4 = 5 => penche à gauche
vs 1 + 5 = 6 => penche à gauche
vs 3 + 4 = 7 => penche à gauche
vs 3 + 5 = 8 => équilibre

 

3 + 6 = 9

vs 1 + 4 = 5 => penche à gauche
vs 1 + 5 = 6 => penche à gauche
vs 2 + 4 = 6 => penche à gauche
vs 2 + 5 = 7 => penche à gauche

 

 

 

 

Le bonimenteur et les poids devinés

Le bonimenteur d'adresse à un public et se met lui-même au défi de retrouver les poids en un minimum de pesées.

Le tour de force réside dans le fait que la valeur des poids est cachée et aucun indice ne laisse supposer sa valeur.

Oui, mais! Le bonimenteur, lui, connait les valeurs.

En résumé: le bonimenteur sait et le public ne sait pas.

Poids de 1, 2, 3 ... n  fois 100 grammes, par exemple.

Selon le nombre n de poids, trouver la quantité de minimale de pesées P(n) pour retrouver les poids cachés.

 

Tout l'art de ce tour consiste à montrer au public que la déduction est logique et que les pesées proposées produisent bien le résultat escompté. Oui! L'audience doit avoir un esprit très logique pour apprécier.

 

Avec 2 poids: 1 et 2

Aucune magie, le tour est évident.

Le bonimenteur sachant que poids 1 est dans la boite A, place A à gauche et B à droite.

Inutile d'ouvrir les boites pour  confirmer le résultat.

Le poids d'une unité est à gauche et celui de deux unités est à droite.

 

Avec 3 poids: 1, 2 et 3

Le bonimenteur fait les deux pesées indiquées et dit que A contient le poids 1, B le 2 et C le 3. L'ouverture des boites prouve l'affirmation.

Mais pourquoi est-ce sans discussion ?

 

Tableau des pesées et déductions

Lors de la première pesée, on déduit que A peut contenir le poids 1 et B le poids 2; mais tout aussi bien: A = 2 et B = 3

Avec la deuxième pesée, on déduit de la même manière que (B = 1 et C = 2) ou (B = 2 et C = 3). Mais, du fait de la première pesée, B n'est pas égal à 1. Reste (B = 2 et C = 3).

Logiquement  A < B < C.

 

Note: c'est la transitivité des inégalités.
Si A < B et B< C alors A < C

NB: les étiquettes montrées au public sont A, B et C; les valeusr associées ne sont connues que du bonimenteur

 

Point

Ces deux exemples sont très simples. Ils permettent de comprendre ce qui est cherché avec ces énigmes. Le cas n = 4 va demander un peu plus de recherche.

 

 

Avec 4 poids: 1, 2, 3 et 4

Le bonimenteur effectue les deux pesées indiquées. L'ouverture des boites montrent que les égalités indiquées (non connues du public) sont satisfaites.

Mais pourquoi est-ce la bonne logique ?

 

Comme précédemment, on va noter le poids potentiels de chaque boite à l'issue de chaque pesée.

 

Tableau des pesées et déductions

Seul D = 4 convient à la première pesée. On le vérifie en considérant toutes les possibilités:

*      1 + 2 vs 3 => équilibre

*      1 + 2 vs 4 => penche à droite

*      1 + 3 vs 4 => équilibre

*      2 + 3 vs 4 => penche à gauche

Le 3 n'intervient pas dans la seule pesée possible (1+2 vs 4), c'est que C = 3.

La deuxième pesée départage A = 1 et B = 2.

 

 

Avec 5 poids: 1, 2, 3, 4 et 5

Le bonimenteur effectue les deux pesées indiquées.

 

Tableau des pesées et déductions

Pour la première pesée, le plateau droit descend pour:

*      1 + 2 < 4

*      1 + 2 < 5

*      1 + 3 < 5

Conclusion deux lots: (1, 2, 3) et (4, 5).

La deuxième pesée indique que D < E, alors D = 4 et E = 5.

*      S'en suit que A = 1 et que

*      1 + B < 4 => B = 2 (car avec B = 3, on aurait équilibre)

Bilan: avec ces deux pesées la seule solution correspond bien aux égalités indiquées sur le dessin (qui, je le répète, ne sont pas connues du public).

 

 

 

 

 

Avec 6 poids: 1, 2, 3, 4, 5 et 6

Le bonimenteur effectue les deus pesées indiquées.  Comme pour la première énigme

 

Tableau des pesées et déductions

En première pesée, l'équilibre est atteint uniquement pour F = 6. Ce qui partage les autres en deux lots (1, 2, 3) et (4 et 5).

Pour la seconde pesée, nous avions vu que la seule possibilité pour faire pencher la balance à droite est d'y placer 3 + 5 = 8 et 1+ 6 à gauche.

Nous avons: A = 1, C = 3, E = 5 et F = 6.

Or B est dans le lot (1, 2, 3) donc B = 2 et D = 4.

 

 

 

 

 

Bilan

L'article en référence de Tanya Khovanova and Joel Brewster Lewis traite de ce problème et annonce que:

*    2 pesées suffisent jusqu'à  n = 6 – démontré;

*    3 pesées suffisent jusqu'à  n = 19 – vérifié, mais sans doute plus;

*    au-delà, résultats partiels.

L'article présente la solution trouvée par Konstantin Knop pour n = 15 en trois pesées. La propriété suivante est utilisée pour la première pesée: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28 & 14 + 15 = 29

Seul cas où la balance penche à gauche pour sept poids contre deux.

 

 

 

 

 

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*      Six Misnamed Coins, Two Weighings – Cut The Knot – Alexander BogomolnyÉnigme due à Sergey TokarevOlympiade mathématiquesRussie – 1991

*    Baron Münchhausen Redeems Himself: Bounds for a Coin-Weighing Puzzle - Tanya Khovanova and Joel Brewster Lewis – 2018

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