énigme des deux cercles dans le rectangle

Édition du: 13/10/2023

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Deux cercles dans un rectangle

Deux cercles tangents et tangents aux côtés d'un rectangle. Trouver la longueur du rectangle.

Trois autres défis géométriques avec deux cercles dans un rectangle

Sommaire de cette page

>>> Longueur du segment vert

>>> Rayon du petit cercle

>>> Longueur du segment vert

>>> Avec la diagonale

Débutants

Géométrie

Glossaire

Géométrie

Longueur du segment vert

haut

Construction

Un rectangle ABCD et deux cercles intérieurs tangents et chacun tangent aux côtés du rectangle.

Le trait vert passant par le point de tangence et parallèle au côté AD mesure d = 6.

Trouver la mesure du côté AB = CD = b.

Piste 1

EG est une corde perpendiculaire au rayon porté par OP, et par symétrie, EH = HG. De même GH' = H'F

Au bilan: HH' = ½ EF = 6/2 = 3 = OM = NO'.

Piste 2

On réalise les tracés de la figure du bas, et cela à partir du rectangle ayant pour sommets les centres des cercles.

Alors:

la longueur de la diagonale du rectangle est la somme des rayons:
OO' = R₁ + R₂.

      en vertical:
    R₁ + OM + R₂ = AD = 8
    R₁ + 3 + R₂ = 8
    R₁ + R₂ = 5

en horizontal:
R₁ + MO'+ R₂ = AB = b

MO'+ 5 = b

Avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle OMO':

MO'² = OO' – OM² = 5² – 3 ² = 4²
MO' = 4

Bilan

b = MO' + 5 = 4 + 5 = 9

Figure de l'énoncé

Figure pour la solution

D'après Answer To Ancient Trick To Solve This Puzzle – Mind Your Decision – Presh Talwalkar

Rayon du petit cercle			haut
Construction Un rectangle orange de longueur a = 10 cm et de largeur b = 8 cm. Un cercle tangent à trois côtés du rectangle. Quelle est le rayon maximum du cercle logeable dans l'espace orange restant ? Pistes Sur la figure, on note les segments de longueur R et ceux de longueur r. On remarque que le grand cercle bleu a un rayon R égal à la moitié de la largeur b du rectangle. On évalue la largeur b du rectangle en fonction de R et r. Le théorème de Pythagore permet l'évaluation du segment central.
Calculs
Vraisemblance En traçant la figure à l'échelle, on constate que seule la valeur r = 1,35088… est recevable. L'autre valeur est un artefact dû à l'élévation au carré.

Valeur entières pour r

Quelles sont les valeurs de a et b telles que r soit un nombre entier.

Le tableau recense les vingt cas pour a et b jusqu'à 100.

On sait que pour a = 2b, les deux cercles sont égaux (rayon égal à b/2). Ces cas ne sont pas répertoriés dans le tableau.

Notez que le second cercle n'existe à l'intérieur du rectangle que si a < 2b

Le cas a = b correspond au cas où le rectangle devient un carré; alors, le second cercle a un rayon nul.

Quelques exemples

Exemple avec a = 2b

Longueur du segment vert		haut
Construction Figure du type précédent avec valeurs entières des côtés du rectangle: Par exemple: a = 25 et b = 18. Tangente verte aux deux cercles qui coupent le rectangle en K et L. Quelle est la longueur du segment vert ? Pistes On connait le rayon des cercles: R = 9 et r = 4 (exercice précédent). Les segments de tangentes à partir du point K sont égaux. Ils mesurent: 2t = EN = 25 – 9 – 4 = 12 => t = 6. Coordonnées du point K = (15, 18). Reste à connaitre celles du point L. On va passer par l'équation de la droite EG. Puis à celle qui lui est orthogonale KL.
Calculs

Avec la diagonale		haut
Construction Un rectangle de dimensions 30, 20. Sa diagonale. Deux cercles tangents à deux côtés du rectangle et à la diagonale. Quelle est la longueur du segment vert joignant les deux centres des cercles ?
Pistes Dans un premier temps, il est judicieux de connaitre le rayon R des cercles. L'astuce consiste à évaluer l'aire de l'un des triangles rectangles de deux manières différentes. On connait l'aire du demi-rectangle. Cette aire est aussi la somme des aires de trois triangles (traits violets) dont la hauteur commune est R. Il est assez simple, alors de connaitre les dimensions du rectangle interne (orange) et de sa diagonale.
Calculs