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Édition du: 12/05/2025 M'écrire Brèves de Maths

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Deux demi-cercles Problèmes rencontrés sur le Net proposés comme défis aux Internautes. De l'intérêt d'une recherche de construction. Comment simplifier une racine de racine.
	Sommaire de cette page >>> Deux demi-cercles inversés >>> Deux demi-cercles tangents >>> Calculs >>> Vérification avec GeoGebra >>> Deux cercles dans un demi-cercle	Débutants Géométrie Glossaire Géométrie

Deux demi-cercles inversés

haut

Construction

Un demi-cercle de rayon r et un demi-cercle de rayon R. Le segment L est tangent à l'un des demi-cercles.

Quelle est l'aire du rectangle A ?

On étudiera le cas où R = r et L = 5 cm.

Pistes

Le rayon HF est perpendiculaire à la tangente.

Le théorème de Pythagore est appliqué dans le triangle rectangle AFH.

Calculs

Pythagore	L²	= (R + 2r)² – R² = 4Rr + 4r²
R = r L = 5	5²	= 4R² + 4R² = 8R²
	25/8	= R²
	R
Rectangle	A	= R (2r + 2R) = 4R²
	A

Figure initiale

Figure avec notations

Figure solution

Deux demi-cercles tangents		haut
Problème Deux demi-cercles de rayon unité, tangents entre eux et tangents, chacun, aux lignes de diamètre de l'autre. Valeur de la diagonale D ?
Tracé OO' Dessiner le segment qui relie les deux centres. Or, si deux cercles sont tangents, leurs centres et le point de tangence sont colinéaires (O, T et O' sont alignés). Calcul AC Cette distance horizontale AC comprend deux fois le rayon et deux fois le côté d'un triangle rectangle. Dans ce triangle, l'hypoténuse vaut 1, le rayon du demi-cercle. Du fait de la symétrie le point T est central et TE = 1/2. Théorème de Pythagore: OE² = OT² – TE²
Calcul AB À nouveau, application du théorème de Pythagore: AB² = AC² + BC² Suite ci-dessous:

Calculs de [AB] = D

Vérification avec GeoGebra		haut
Construction Demi-cercle AB. Horizontales en y = 0; 0,5 et 1. Intersection G entre l'horizontale 0,5 et le demi-cercle. Demi-droite OG. Intersection O'. Demi-cercle de rayon O'G ( = 1). Intersection J. Mesure Diagonale AJ et sa mesure donnée par la logiciel: D = 3,8687 …

Voir GeoGebra

D'après The Distances Across Two Semicicles – Mind Your Decision – Presh Talwalkar – Vidéo en anglais

Deux cercles dans un demi-cercle		haut
Problème Deux cercles bleus de rayon 4 cm et 6 cm, tangents entre eux et tangents à un demi-cercle de rayon R. Quelle est la valeur de R ? Piste Lorsque deux cercles sont tangents, leurs centres et le point de tangente sont alignés. On peut donc tracer les deux segments verts OM et OL. On nomme x la distance entre le centre du demi-cercle et un point de tangence avec le diamètre x = OJ. La suite va consister à appliquer le théorème de Pythagore dans les trois triangles rectangles indiqués sur la figure du bas.

Calculs

Vérification GeoGebra

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