Rayon du quart de cercle inscrivant un triangle rectangle

Édition du: 28/07/2023

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Cercle et triangle rectangle

Un triangle rectangle inscrit dans un quart de cercle.
Quel est le rayon du cercle ?

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Géométrie

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Cercle et triangle rectangle		haut
Construction Un cercle et un triangle rectangle inscrit dans le quart de cercle. Triangle rectangle: les sommets opposés à l'angle droit sont situés sur deux diamètres perpendiculaires et à égale distance du centre du cercle. Son hypoténuse mesure 2 cm et le petit angle vaut 30°. Quel est le rayon du cercle ? Observations liminaires (Figure du bas) Les segments OA et OB sont égaux. Le triangle OAB est isocèle rectangle. Son hypoténuse valant 2, les côtés mesurent racine de 2 (2² = x² + x² = 2x² => x² = 2). Dans le triangle rectangle ABC, on connait l'hypoténuse AB et l'angle de 30° (angle ABC), alors les deux côtés de l'angle droit sont connus (le sinus et le cosinus). Pistes Il faut calculer le rayon: R = OE = OD et aussi … OC. Le segment OC est situé parmi des triangles dont on connait les angles. Intuition: utilisation des formules d'Al Kashi (ou loi des cosinus avec un des triangles OCB ou OCA. Avec OCA, on connait l'angle en A et la mesure du côté OA. Peut-on calculer la longueur du segment AC ? Oui, avec le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle ABC.
Calculs Notez la manière de s'affranchir d'un radical sous radical en mettant en évidence un carré.

D'après Find the radius of the quarter circle – Geometry Problem – Math Booster

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