jeu de dés et double six

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DOUBLE-SIX aux dés

Problème du chevalier Méré (1654)

Obtenir un double six une fois sur deux ! Solution de Pascal qu'il a pris soin de vérifier auprès de Fermat

DOUBLE-SIX
Un jet de deux dés
Quelle est la probabilité de faire un double six ? Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ?	1/6 x 1/6 = 1 – 1/36 =	1/36 35/36
Deux jets de deux dés
Quelle est la probabilité de faire un double six ? Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ? Retour sur probabilité de faire un double six	Calcul direct 35 /36 x 35/36 1 – (35/36)²	= difficile = (35/36)² = 5, 4%
N jets de deux dés
Quelle est la probabilité de faire un double six ? Quelle est la probabilité de NE PAS faire un double six ? Retour sur probabilité de faire un double six	Calcul direct 35 /36 x 35/36 x …	= difficile = (35/36)^N = 1 – (35/36)^N

Le problème sur la probabilité du double six

Le tableau montre que: de 5% avec 2 jets, la probabilité d'avoir un double-six progresse à pratiquement 25% avec 10 jets.

Il faut atteindre 25 lancés pour que la tendance bascule: la probabilité dépasse alors le 1 chance sur 2.

C'était l'objet du problème du Chevalier Méré à Pascal:

Question

Quelle est la probabilité de ne pas faire un double six en 24 coups ?

Réponse

1 – 49,14 = 50,55%

Les joueurs et les banquiers de l'époque connaissaient cette propriété de par leur expérience.

Calcul pour les valeurs de N

Exemple: Si je lance 15 fois deux dés,

j'ai 34,46% de chance d'obtenir un double-six.

En général - Formule d'Abraham de Moivre (1716)

Notons p est la probabilité d'un événement lors d'une expérience.

Tous les cas ont la même chance de se réaliser.

Quelle est la probabilité que l'événement se produise au moins une fois en N expériences ?

P = 1 – (1 – p) ^N

Vérification du résultat de Pascal
Pour quelle valeur de N obtient-on 50% ? Application de la formule de De Moivre.	1 – (1 – p) ^N	= 1/2
Pour résoudre cette équation il faut passer par un artifice: les logarithmes. En notant que 0 £ p £ 1 (p est une probabilité).	N . log(1 – p)	= – log 2
Soit la formule en N:	N	= – log 2 / log(1 – p)
Et, le développement en logarithmes népériens.	log(1 – p)	= – p – p²/2 – p³/3 – …
Or, p est la probabilité d'obtenir un double six.	p	= 1/36
En calculant.	log(1 – 1/36)	= 0,0281708…
Alors que:	log 2	= 0,693147…
Effectuons la division:	N	= 24,60…
Précisément à 24,60 coups, on a 1 chance sur 2 d'avoir un double 6 Ce qui confirme bien des calculs de Pascal.

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