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Trois dés et une urne Un exercice de cours de niveau terminale,
décortiqué pour bien le comprendre et pour démystifier certaines formules. Cet
exemple est tiré d'épreuves déjà données au baccalauréat. Nous allons donner la réponse comme vous devriez
la donner d'après le cours et, en plus, expliciter cette réponse. Si vous
êtes déjà à l'aise, vous pouvez vous contenter des explications dans les
cadres jaunes. |
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Dans la rue, un escroc fait jouer
les passants: "pour un euro seulement, tirez une boule de cette besace.
Il y a une blanche et une noire. Si vous tirez la blanche, c'est votre jour
de chance; vous gagnez cinq euros". Vous avez deviné que les deux
boules sont noires, mais comment le prouver? |
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Problème Une urne dans
laquelle se trouve déjà une bille blanche ou noire. On ajoute une
bille blanche On tire au
hasard une bille. Elle est blanche. Qu'elle est la
probabilité que la bille restante soit blanche? Alternative parfois rencontrée: un sac et des
jetons. |
Solution rapide, mais fausse Les deux
opérations: une bille blanche ajoutée, puis une bille blanche tirée conduit à
un résultat neutre. La dernière bille
sera blanche ou noire, soit une probabilité de 50% pour la blanche. Aucun piège,
cependant. Uniquement faire le bon décompte des possibilités! |
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Trois dés dans un sac (ou une urne). |
Deux normaux, numérotés de 1 à 6. Un spécial avec trois faces à 1 et trois à
6. |
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Action1: on
tire |
Deux dés parmi les trois. |
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Action 2: PUIS, on lance |
Ces deux dés, et On observe les faces supérieures. |
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Événement
A: |
Les deux dés tirés sont normaux. Notés:
NN |
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Événement
B: |
Les deux dés tirés montrent un 6. Soit
un double-six. |
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Illustration
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Nous savons qu'en lançant un seul dé, il y a une
possibilité sur six de tomber sur le 6 (ou un autre nombre donné) La probabilité d'obtenir un 6 est égale au nombre de cas favorables (1 seul)
sur le nombre de cas possibles (6) |
Pun
6 = 1 / 6 Rappel: cette probabilité s'appuie sur un grand nombre de cas. En effet,
en lançant le dé six fois, il est évident que nous n'allons pas obtenir
chacune des faces. Nous pouvons, même si ce cas est rarement observé,
n'obtenir que des 6 à la suite. |
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C'est égal de lancer les deux dés à la fois
ou l'un après l'autre. Pour chaque possibilités du premier, il y a
six possibilités du second; soit 6 x 6 = 36 possibilités. Donc, un cas favorable pour le double-six
sur 36 possibilités. |
Pdeux
6 = 1
/ 62 = 1 / 36 |
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Avec trois dés, il y a encore six cas possibles
pour les 36 cas possibles des deux premiers; soit 216 possibilités Donc, un cas favorable pour le triple-six
pour 216 possibilités |
Ptrois
6 = 1
/ 63 = 1 / 216 |
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Nous sommes bien dans le cas de l'action 1
qui consiste à retirer en aveugle deux dés du sac (de l'urne). |
Rien à voir avec l'action 2. On se moque de ce que montrent les dés. |
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Si on applique directement le cours |
Univers
des cas possibles: Tirage simultané de deux dés normaux
parmi 3: |
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Rappel
de la lecture de ces symboles |
L'univers
est l'ensemble des possibilités. Il est noté oméga, une lettre grecque majuscule. Le
cours dit que: l'univers est l’ensemble de toutes les éventualités de
l’expérience aléatoire. Cardinal est synonyme
de quantité d'objets dans l'ensemble. Combinaison
de deux objets parmi trois ou quantité de configuration différentes si je
tire deux objets dans l'urne qui en contient 3. |
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Quelles
sont les combinaisons |
Avec A, B et C, les configurations
différentes possibles sont: Or
ici A = B = Normal (N) et C = Spécial
(S); Soit les trois possibilités: |
(A,B), (A,C)
et (B,C) soit 3 cas (N,N), (N,S)
et (N,S) soit 3 ou 2 cas ? |
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Objection! |
Dans notre cas précis, avons-nous trois ou
deux cas? |
La
réponse est 3! |
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Particularisation
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Nous avons trois dés dans le sac, même si
deux d'entre eux sont identiques. |
N1,
N2 et S |
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Explications avec dénombrement |
Je prends les deux dés en même temps ou
l’un après l’autre ce qui ne change pas
le résultat. Le premier est l’un des trois : N1,
N2 ou S. Le second est l’un des deux qui restent. Soit six possibilités. Je compte la quantité de cas où j'ai NN: il y en a 2. La probabilité d'avoir NN
est égale à 2/6 = 1/3 |
Card ( Card (A) = 2
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J'aurais pu compter en rejetant les configurations
identiques. |
Attention je dois conserver l'ordre: le
spécial arrive en premier ou en second. Nous avons, ici, un seul cas favorable (NN) sur trois cas. Comme avec les fractions, le cas du haut peut
être simplifié et produire le cas du bas. Alors, l'univers comporte bien
trois issues "simplifiée" dont une en NN. |
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Résumons- nous en termes de probabilités |
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Probabilité de A |
A = Les deux dés tirés sont normaux. La réponse est immédiate en lisant le
graphe de dénombrement |
P(A) = 1 sur 3 |
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Comme dans le cours |
Si A est réalisé, on tire deux dés normaux
parmi deux. La probabilité est égale au rapport des cas
favorables (un seul) sur les cas possibles (3). |
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Probabilité de |
Le contraire (négatif) de A est :
En lisant le graphe on déduit : |
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Comme dans le cours |
La probabilité d’un événement et de son
contraire est égale à 1 (l’événement certain a une probabilité égale à 1) |
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Remarque que l’on se fait avant toute autre
démarche |
B =
les deux tirés montrent un 6. Dans le cas général, le 6 provient soit
d’un dé normal, soit d’un dé anormal. |
6 avec normal : une chance sur 6 6 avec anormal : une chance sur 2 |
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Probabilité de B
sachant que A est réalisé |
Nous venons de trier deux dés
normaux ; quelle est la probabilité d’un double 6. Chaque dé a une chance sur 6 de présenter
le 6. Les événements étant indépendants, les probabilités
se multiplient. |
P(B/A)
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Comme dans le cours |
La probabilité d'avoir un six ET encore un 6: |
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Interrogation |
Nous savons qu’ayant tiré deux dés normaux
la probabilité d’avoir deux 6 est 1/36 ; mais qu’elle est la probabilité
qu’ayant deux 6, les deux soient normaux? |
P(A/B) = ? Non! Ce n'est pas 35/36 |
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Tirage NN |
Probabilité d’un double-six, ayant NN : Ce que nous venons de calculer. |
P(B/A) = 1/36 |
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Tirage NS |
Probabilité d’un double-six, ayant un dé normal
et un dé spécial: Un cas sur 6 pour le dé N. Trois cas sur 6 pour le dé S qui a trois
faces en 6. Note: A barre est le
contraire de ; C'est-à-dire: je n'ai pas tiré les deux normaux, donc j'ai
tiré un spécial et un normal. |
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Selon le tirage |
On compte la somme de tous ces cas
indépendants. |
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Comme dans le cours |
Cas combiné
du double six (B) lors d’un tirage NN (événement A). |
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Cas combiné du double six (B) lors d’un tirage NS (événement non-A). |
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Système complet : union de
l’intersection avec l’intersection du complémentaire. |
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En probabilités |
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Le tableau énonce tous les
événements et montre les étapes de calcul |
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Action 1 |
Action 2 |
Combinées |
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Somme |
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Le diagramme
montre la partition de l'univers et la proportion relative de chaque
événement. On donne la quantité d'issues pour
un total de 108 dans cet univers.
NN = deux
dés normaux; NS = un normal et un spécial; 2.6 = double –six. |
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L'arbre
pondéré est l'outil le plus pratique: il montre tous les événements et
toutes les probabilités associées
L'arbre est bien construit si la somme des
probabilités (jaunes) représentant tout l'univers est bien égale à 1; et si
la somme des probabilités aux nœuds valent chacune 1. Nous lisons immédiatement combine de fois
le double six est présent. Ce sont les branches qui se terminent par B. L'une
avec 1/108 et l'autre avec 1/18. La somme vaut 7/108.
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Provenance du double-six |
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Calcul intuitif à l’aide du tableau |
Nous avons calculé que le
double-six tombe 7 fois sur 108. |
P(B) = 7/108 |
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Or, il ne vient que 1 fois sur 108 lorsque
ce sont deux dés normaux. |
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La fréquence d’apparition est donc de 1
fois sur 7. |
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Comme dans le cours |
Relations entre le cas combiné du double-six. |
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On cherche la probabilité, en ayant un
double-six, qu’il provienne d’un tirage de deux dés normaux (NN). |
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Ce qui donne. |
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Lecture sur l'arbre |
Nous arrivons 6 fois plus en B avec la
ligne du bas (1/18 = 6/108) que la ligne du haut (1/108). |
La
proportion est bien 1/7 |
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Et pour le non double 6 |
Nous lisons: 35/108 et 11/18 = 66/108 soit
un total de 101/108. |
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Avec les données que nous avons-nous
pouvons inverser l'arbre en donnant d'abord la probabilité d'un double-six
(B), puis son origine NN ou NS.
Comme toujours la somme totale (jaune) et
les sommes aux nœuds sont égales à 1. On peut lire par exemple que la probabilité
d'obtenir autre chose qu'un double-six (B barre) en provenance d'un tirage e
de deux dés normaux (A) est égale à 35/108 = 32,4%. |
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Une réponse narrative à un tel
problème est toujours possibles. Cependant, et tant que ces notions ne sont
pas complètement assimilées, il est plus prudent d'utiliser l'arbre pondéré.
Il offre l'avantage de surcroît d'une vérification finale (sorte de preuve par 9). Voir les exemples suivants avec solutions directes lues sur l'arbre
pondéré. |
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Précaution Lorsque la bille
blanche est tirée, il peut s'agir de la bille ajoutée, mais aussi e la bile
existante dans le cas où elle aurait été blanche. Il existe bien
trois situations de tirages et deux ca "favorables" où la bille
restante est blanche.
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Les possibilités
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Pour prouvez que les deux boules
sont noires et que l'escroc gagne à tout coup, tirez une boule et,
maladroitement, vous la laisser tomber dans l'égout. L'escroc, sous peine de perdre la
face, est contraint de montrer la boule qui reste. Elle est noire. Celle que
vous avez tirée était donc blanche. Vous avez gagné. |
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Suite |
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Voir |
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Aussi |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Denombre/aaaTermi/Troisdes.htm
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