NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Trois dés et une urne

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Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Familiarisation: les deux billes

>>> Le problème

>>> Réflexions liminaires

>>> Action 1: probabilité de tirer deux dés normaux

>>> Action 2: probabilité d'un double-six ayant NN

>>> Action 2 (suite): probabilité d'un double-six

>>> Outil TABLEAU

>>> Outil DIAGRAMME

>>> Outil ARBRE PONDÉRÉ

>>> ARBRE pondéré inversé

>>> Bilan

 

 

 

 

 

Trois dés et une urne

 

Un exercice de cours de niveau terminale, décortiqué pour bien le comprendre et pour démystifier certaines formules. Cet exemple est tiré d'épreuves déjà données au baccalauréat.

Nous allons donner la réponse comme vous devriez la donner d'après le cours et, en plus, expliciter cette réponse.

 

Si vous êtes déjà à l'aise, vous pouvez vous contenter des explications dans les cadres jaunes.

 

 

 

 

Devinette

Dans la rue, un escroc fait jouer les passants: "pour un euro seulement, tirez une boule de cette besace. Il y a une blanche et une noire. Si vous tirez la blanche, c'est votre jour de chance; vous gagnez cinq euros".

Vous avez deviné que les deux boules sont noires, mais comment le prouver?

Solution

 

 

 

 

Les deux billes – Pour se familiariser

 

Problème

Une urne dans laquelle se trouve déjà une bille blanche ou noire.

On ajoute une bille blanche

On tire au hasard une bille. Elle est blanche.

Qu'elle est la probabilité que la bille restante soit blanche?

 

Alternative parfois rencontrée: un sac et des jetons.

 

Solution rapide, mais fausse

Les deux opérations: une bille blanche ajoutée, puis une bille blanche tirée conduit à un résultat neutre.

La dernière bille sera blanche ou noire, soit une probabilité de 50% pour la blanche.

 

Aucun piège, cependant. Uniquement faire le bon décompte des possibilités!

 

Solution

 

 

 

Le problème

Trois dés dans un sac (ou une urne).

Deux normaux, numérotés de 1 à 6.

Un spécial avec trois faces à 1 et trois à 6.

Action1: on tire

Deux dés parmi les trois.

Action 2: PUIS, on lance

Ces deux dés, et

On observe les faces supérieures.

Événement A:

Les deux dés tirés sont normaux.

Notés: NN

Événement B:

Les deux dés tirés montrent un 6.

Soit un double-six.

Illustration

 

Réflexion liminaires

Nous savons qu'en lançant un seul dé, il y a une possibilité sur six de tomber sur le 6 (ou un autre nombre donné)

La probabilité d'obtenir un 6 est  égale au nombre de cas favorables (1 seul) sur le nombre de cas possibles (6)

 

Pun 6       = 1 / 6

 

Rappel: cette probabilité s'appuie sur un grand nombre de cas. En effet, en lançant le dé six fois, il est évident que nous n'allons pas obtenir chacune des faces. Nous pouvons, même si ce cas est rarement observé, n'obtenir que des 6 à la suite.

 

C'est égal de lancer les deux dés à la fois ou l'un après l'autre.

Pour chaque possibilités du premier, il y a six possibilités du second; soit 6 x 6 = 36 possibilités.

Donc, un cas favorable pour le double-six sur 36 possibilités.

Pdeux 6  = 1 / 62  = 1 /   36

Avec trois dés, il y a encore six cas possibles pour les 36 cas possibles des deux premiers; soit 216 possibilités

Donc, un cas favorable pour le triple-six pour 216 possibilités

Ptrois 6   = 1 / 63  = 1 / 216

 

 

 

Action 1: probabilité de tirer deux dés normaux

 

Nous sommes bien dans le cas de l'action 1 qui consiste à retirer en aveugle deux dés du sac (de l'urne).

Rien à voir avec l'action 2.

On se moque de ce que montrent les dés.

Si on applique directement  le cours

 

Univers des cas possibles:

 

Tirage simultané de deux dés normaux parmi 3:

 

 

 

Rappel de la lecture de ces symboles

 

L'univers  est l'ensemble des possibilités.

Il est noté oméga, une lettre grecque majuscule.

Le cours dit que: l'univers est l’ensemble de toutes les éventualités de l’expérience aléatoire.

 

Cardinal est synonyme de quantité d'objets dans l'ensemble.

 

Combinaison de deux objets parmi trois ou quantité de configuration différentes si je tire deux objets dans l'urne qui en contient 3.

 

Quelles sont les combinaisons

 

Avec A, B et C, les configurations différentes possibles sont:

 

Or ici A = B = Normal (N) et C =  Spécial (S); Soit les trois possibilités:

 

 

 

(A,B), (A,C) et (B,C)

        soit 3 cas

 

(N,N), (N,S) et (N,S)

         soit 3 ou 2  cas ?

Objection!

Dans notre cas précis, avons-nous trois ou deux cas?

La réponse est 3!

Particularisation

Nous avons trois dés dans le sac, même si deux d'entre eux sont identiques.

N1, N2 et S

 

Explications

avec dénombrement

 

 

 

Je prends les deux dés en même temps ou l’un après l’autre ce qui ne change pas  le résultat.

 

Le premier est l’un des trois : N1, N2 ou S.

Le second est l’un des deux qui restent.

 

Soit six possibilités.

Je compte la quantité de cas où j'ai NN: il y en a 2.

La probabilité d'avoir NN est égale à 2/6 = 1/3

 

Card () = 6

Card (A) = 2

 

J'aurais pu compter en rejetant les configurations identiques.

 

Attention je dois conserver l'ordre: le spécial arrive en premier ou en second.

 

Nous avons, ici, un seul cas favorable (NN) sur trois cas.

 

Comme avec les fractions, le cas du haut peut être simplifié et produire le cas du bas. Alors, l'univers comporte bien trois issues "simplifiée" dont une en NN.

 

 

Résumons- nous en termes de probabilités

 

Probabilité de A

A = Les deux dés tirés sont normaux.

La réponse est immédiate en lisant le graphe de dénombrement 

 

P(A) = 1 sur 3

 

Comme dans le cours

Si A est réalisé, on tire deux dés normaux parmi deux.

La probabilité est égale au rapport des cas favorables (un seul) sur les cas possibles (3).

 

 

Probabilité de

Le contraire  (négatif) de A est :

 = Les deux dés tirés ne sont pas tous les deux normaux ou encore : l’un des dés est anormal et l’autres est normal.

En lisant le graphe on déduit :

 

 

Comme dans le cours

La probabilité d’un événement et de son contraire est égale à 1 (l’événement certain a une probabilité égale à 1)

 

 

 

 

Action 2: probabilité d'un double-six ayant NN

Remarque que l’on se fait avant toute autre démarche

 

B =  les deux tirés montrent un 6.

Dans le cas général, le 6 provient soit d’un dé normal, soit d’un dé anormal.

6 avec normal :

une chance sur 6

6 avec anormal :

une chance sur 2

 

Probabilité de B sachant que A est réalisé

 

Nous venons de trier deux dés normaux ; quelle est la probabilité d’un double 6.

Chaque dé a une chance sur 6 de présenter le 6.

Les événements étant indépendants, les probabilités se multiplient.

 

P(B/A)

 

 

Comme dans le cours

La probabilité d'avoir un six ET encore un 6:

 

Interrogation

 

Nous savons qu’ayant tiré deux dés normaux la probabilité d’avoir deux 6 est 1/36 ; mais qu’elle est la probabilité qu’ayant deux 6, les deux soient normaux?

 

P(A/B) = ?

 

Non! Ce n'est pas 35/36

 

 

 

Action 2 (suite): probabilité d'un double-six

 

Tirage NN

 

Probabilité d’un double-six, ayant NN :

Ce que nous venons de calculer.

P(B/A) = 1/36

 

Tirage NS

 

Probabilité d’un double-six, ayant un dé normal et un dé spécial:

Un cas sur 6 pour le dé N.

Trois cas sur 6 pour le dé S qui a trois faces en 6.

 

Note: A barre est le contraire de ; C'est-à-dire: je n'ai pas tiré les deux normaux, donc j'ai tiré un spécial et un normal.

 

 

Selon le tirage

 

*    Dans un cas (probabilité de 1/36), on a le double-six dans un tiers des tirages ;

*    Dans l’autre (probabilité de 1/12), on a le double-six dans deux tiers des tirages.

On compte la somme de tous ces cas indépendants.

 

 

Comme dans le cours

 

Cas combiné du double six (B)  lors d’un tirage NN (événement A).

 

 

 

Cas combiné du double six (B)  lors d’un tirage NS (événement non-A).

 

 

 

Système complet : union de l’intersection avec l’intersection du complémentaire.

 

 

En probabilités

 

 

Outil TABLEAU

 

Le tableau énonce tous les événements et montre les étapes de calcul

 

Action 1

Action 2

Combinées

Somme

 

 

 

 

Outil DIAGRAMME

 

Le diagramme montre la partition de l'univers et la proportion relative de chaque événement.

On donne la quantité d'issues pour un total de 108 dans cet univers.

 

 

NN = deux dés normaux; NS = un normal et un spécial; 2.6 = double –six.

 

 

 

Outil ARBRE pondéré

 

L'arbre pondéré est l'outil le plus pratique:

il montre tous les événements et toutes les probabilités associées

 

 

L'arbre est bien construit si la somme des probabilités (jaunes) représentant tout l'univers est bien égale à 1; et si la somme des probabilités aux nœuds valent chacune 1.

 

Nous lisons immédiatement combine de fois le double six est présent. Ce sont les branches qui se terminent par B. L'une avec 1/108 et l'autre avec 1/18. La somme vaut 7/108.

 

 

 

 

 

Provenance du double-six

Calcul intuitif à l’aide du tableau

Nous avons calculé que le double-six tombe 7 fois sur 108.

P(B) = 7/108

 

 

Or, il ne vient que 1 fois sur 108 lorsque ce sont deux dés normaux.

 

 

 

La fréquence d’apparition est donc de 1 fois sur 7. 

 

 

Comme dans le cours

Relations entre le cas combiné  du double-six.

 

On cherche la probabilité, en ayant un double-six, qu’il provienne d’un tirage de deux dés normaux (NN).

 

Ce qui donne.

Lecture sur l'arbre

 

Nous arrivons 6 fois plus en B avec la ligne du bas (1/18 = 6/108) que la ligne du haut (1/108).

 

La proportion est bien 1/7

Et pour le

non double 6

Nous lisons: 35/108 et 11/18 = 66/108 soit un total de 101/108.

 

 

ARBRE PONDÉRÉ INVERSÉ

 

Avec les données que nous avons-nous pouvons inverser l'arbre en donnant d'abord la probabilité d'un double-six (B), puis son origine NN ou NS.

 

Comme toujours la somme totale (jaune) et les sommes aux nœuds sont égales à 1.

 

On peut lire par exemple que la probabilité d'obtenir autre chose qu'un double-six (B barre) en provenance d'un tirage e de deux dés normaux (A) est égale à 35/108 = 32,4%.

 

 

Bilan

Une réponse narrative à un tel problème est toujours possibles. Cependant, et tant que ces notions ne sont pas complètement assimilées, il est plus prudent d'utiliser l'arbre pondéré. Il offre l'avantage de surcroît d'une vérification finale (sorte de preuve par 9).

Voir les exemples suivants avec solutions directes lues sur l'arbre pondéré.

 

 

Les deux billes – Solution

 

Précaution

Lorsque la bille blanche est tirée, il peut s'agir de la bille ajoutée, mais aussi e la bile existante dans le cas où elle aurait été blanche.

 

Il existe bien trois situations de tirages et deux ca "favorables" où la bille restante est blanche.

 

 

 

Les possibilités

 

Retour

 

 

 

Devinette – Solution

Pour prouvez que les deux boules sont noires et que l'escroc gagne à tout coup, tirez une boule et, maladroitement, vous la laisser tomber dans l'égout.

L'escroc, sous peine de perdre la face, est contraint de montrer la boule qui reste. Elle est noire. Celle que vous avez tirée était donc blanche. Vous avez gagné.

Retour

 

 

 

 

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