NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 28/07/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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DÉNOMBREMENTS et DÉS

Rappel: PROPRIÉTÉS des DÉS

Le total des points des faces opposées d'un dé est:

7

Au lancer de 2 dés, tous les cas existent p-liste Contrairement aux dominos qui éliminent les symétriques p-suite

1 – 4 & 4 – 1 comptent pour 2 cas aux dés. 1 – 4 & 4 – 1 ne forment qu'un seul domino.

Voir Initiation au dénombrement et aux probabilités avec les dés

DÉNOMBREMENT aux DÉS

Combien peut-on obtenir de 6 (ou tout autre nombre) avec 1, 2 ou 3 dés ?

Exemple

Avec 3 dés, il y a 15 possibilités d'avoir exactement deux fois le 6

sur un total de 216 possibilités avec ces dés.

Soit un ratio (une probabilité) de 15 / 216 = 6,9%

Tableau

Quantité de dés	Possibilités totales	Possibilités d'avoir au moins un 6 (ou un autre chiffre)	Cas où on obtient exactement deux 6 (ou un autre chiffre)
1	6	1	0
2	36	11	1
3	216	91	15
4	1 296	671	150
5	7 776	4 651	1 250
6	46 656	31 031	9 375
7	279 936	201 811	65 625
8	1 679 616	1 288 991	437 500
9	10 077 696	8 124 571	2 812 500
10	60 466 176	50 700 551	17 578 125
n	6^p	6^p – 5^p	5^n-2 x C^2n

Voir Combinaisons Cⁿ_p

Bilan avec trois dés

Trois dés	Particulier	Quelconque
Triplets	1	6 x 1 = 6
Doublets	15	6 x 15 = 90
Singletons	75	216 – 96 = 120

Voir Loterie des trois dés

BASE - Calcul du nombre de cas possibles

Lancer

de

Calcul

Nombre de

cas possibles

Illustration

1 dé

Un dé comporte 6 faces.

D'ailleurs, chaque face est repérée par 1 à 6 points.

Posé sur une table, un dé peut présenter l'une quelconque de ces 6 faces: a peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6

6

a

a = {1, 2, … 6} => 6

2 dés

Le premier dé, a peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6.

Maintenant, pour une valeur donnée de a, b peut prendre toutes les valeurs de 1 à 6.

C'est comme si on lançait un dé, puis l'autre

La valeur du 2^e ne dépend pas de celle du 1^er

Le principe multiplicatif s'applique.

6 x 6

= 6²

a

b

a = {1, 2, … 6} => 6

b = {1, 2, … 6} => 6

n dés

On peut aisément généraliser. Il s'agit d'une p-liste des cas possibles

6ⁿ

a

b

…

n

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés est:

6^n

AU MOINS UN 6

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir au moins un chiffre donné, comme le 6, est:

6^n - 5^n

Calcul méthode 1

	Calcul	Exemple avec n = 3
Possibilités totales	Il s'agit d'une p-liste (vue ci-dessus). Total des possibilités: P = 6^n	P = 6^3 = 216
Pas de 6	Cas où le 6 n'apparaît pas. Ce sont toutes les possibilités des dés en éliminant le 6. Soit 5 chiffres utilisés par n dés: P' = 5^n	P = 5^3 = 125
Possibilités d'avoir au moins un 6 (ou un autre chiffre)	Par différence, on obtient les cas où le 6 est présent T = 6^n – 5^n	T = 6^3 - 5^3 = 216 - 125 = 91

Calcul méthode 2 - Exemple avec 3 dés

Calcul

Illustration

1^er dé

On étudie le cas où a = 6.

Restent 2 dés b et c

qui peuvent prendre toutes les valeurs possibles avec 2 dés

soit 6 x 6 possibilités.

6

b

c

b = {1, 2, … 6} => 6

c = {1, 2, … 6} => 6

2^ème dé

Cas où b = 6.

Restent 2 dés a et c

mais pour c la valeur 6 a déjà été vue

et c prend toutes les valeurs

soit 5 x 6 possibilités.

a

6

c

a = {1, 2, … 5} => 5

c = {1, 2, … 6} => 6

3^ème dé

Cas où c = 6.

Restent 2 dés a et b

qui ne peuvent plus être 6, déjà vu

soit 5 x 5 possibilités.

a

b

6

a = {1, 2, … 5} => 5

b = {1, 2, … 5} => 5

Bilan

Nous avons examinés trois cas

qui sont indépendants

Le principe additif s'applique

(6 x 6) + (5 x 6) + (5 x 5) = 36 + 30 + 25 = 91

Voir Nombre 91

AU MOINS DEUX 6

Calcul - Exemple avec 3 dés

Calcul

Illustration

1^er cas

Trois 6

Tous les dés valent 6.

6

6

6

2^e cas

Deux 6

On étudie le cas où a = b = 6

Reste uniquement le dé c

qui peut prendre toutes les valeurs de 1 à 5

car nous avons déjà vu le cas c = 6

soit 5 possibilités.

Ce cas de double 6

est une combinaison de parmi 3

Il se présente C²₃ = 3 fois.

Total des cas avec deux 6: 3 x 5.

6

6

c

c = {1, 2, … 5}

=> 5

Bilan

Le principe additif s'applique:

1 + 3 x 5 = 16

Note: on aurait pu compter de la manière suivante: configuration 66a avec a de 1 à 6 soit 6 cas; configuration 6a6 avec a de 1 à 6 soit 6 cas; configuration a66 avec a de 1 à 6 soit 6 cas. Le total donne 6 + 6 + 6 = 18 cas et non 16 !

Explication: autant on distingue l'arrivée des 6 dans a66, 6a6 et 66a; autant on ne peut distinguer un ordre d'arrivée pour 666. Cette configuration ne compte que pour 1. Or, dans notre dernier calcul, il est compté à tord pour 3.

EXACTEMENT DEUX 6

Généralisation à strictement 2 fois la valeur 6

Calcul

Illustration

Avec 2 dés

On aura évidemment une seule possibilité.

6

6

Avec 3 dés

On vient de le voir avec le calcul ci-dessus:

N₃ = 5 x C²₃ = 5 x 3 x 2 / 2 = 15

6

6

c

Avec 4 dés

On peut penser que la procédure se généralise.

En comptant c et d pour 5 x 5:

N₄ = 25 x C²₄ = 25 x 4 x 3 / 2 = 150

6

6

c

d

c = {1, 2, … 5} => 5

d = {1, 2, … 5} => 5

Avec n dés

En effet, généralisation:

N_n = 5^n-2 x C²_n

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir deux fois un chiffre donné, comme le 6 - 6, est:

Nn = 5^n-2 x C^2n

Note: on se demande pourquoi pas le double. En effet les configurations sont celles du tableau montrant les six positions possibles pour les deux 6.

Mais x et y peuvent être intervertis, ce qui conduit à deux fois le compte.

Non, car lorsque x et y balaient les valeurs de 1 à 6, on retrouve les positions symétriques: (1,5) et (5,1), par exemple. De ce fait, les inversions sont déjà comptées.

EXACTEMENT TROIS 6

Généralisation à strictement 3 fois la valeur 6

Calcul

Illustration

Avec 3 dés

Une seule possibilité.

6

6

6

Avec 4 dés

Cinq possibilités.

Répétées C³₄ = 4 fois

Total 5 x C³₄ = 5 x 4 = 20

6

6

6

d

d = {1, 2, … 5} => 5

Avec 5 dés

Deux dés libres avec les valeurs de 1 à 5, soit 25 possibilités

Ceci répété pour toutes les combinaisons de 3 parmi 5,

soit C³₅ = (5 x 4 x 3) / (2 x 3) = 10

Et, un total de:

25 x C³₅ = 25 x 10 = 250

6

6

6

d

e

d = {1, 2, … 5} => 5

e = {1, 2, … 5} => 5

Avec n dés

Généralisation:

N_n = 5^n-3 x C³_n

Le nombre de cas possibles lorsque n dés sont lancés pour obtenir trois fois un chiffre donné, comme le 6 – 6 – 6, est:

Nn = 5^n-3 x C^3n

AU MOINS k FOIS LE 6 POUR n DÉS

Se familiariser avec le cas de

"au moins trois fois le 6" pour 5 dés

	Calcul
Exactement 5 fois le 6	1
Exactement 4 fois le 6	5 x C^45 = 5 x 5 = 25
Exactement 3 fois le 6	5^2 x C^35 = 25 x 10 = 250
Total	1 + 25 + 250 = 276

Généralisation k fois le 6 pour n dés

	Calcul
Exactement n fois le 6	1
Exactement n-1 fois le 6	5 x C^n-1n
Exactement n-2 fois le 6	5^2 x C^n-2n
	…
Exactement k fois le 6	5^n-k x C^kn
Total	La somme des valeurs ci-dessus

Exemple au moins 5 fois le 6 pour 7 dés

	Calcul
Exactement 7 fois le 6	1
Exactement 6 fois le 6	5 x C^67 = 5 x 7 = 35
Exactement 5 fois le 6	5^2 x C^57 = 25 x 21 = 525
Total	1 + 35 + 525 = 561

Exemple au moins 5 fois le 6 pour 10 dés

	Calcul
Exactement 10 fois le 6	1
Exactement 9 fois le 6	5 x C^910 = 5 x 10 = 50
Exactement 8 fois le 6	5^2 x C^810 = 25 x 45 = 1 125
Exactement 7 fois le 6	5^3 x C^710 = 125 x 120= 15 000
Exactement 6 fois le 6	5^4 x C^610 = 625 x 210 = 131 250
Exactement 5 fois le 6	5^5 x C^510 = 3125 x 252 = 787 500
Total	934 926

Exemple de calcul en pratique

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