NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Rubrique  LOGIQUE

Débutants

Logique

Lois de la LOGIQUE

Glossaire Logique

Inversion

ET

OU

Implication

Phrases

OU Exclusif

Équivalence

Logique de Boole

Multi-variable

Addition

 

Sommaire de cette page

>>> Logique formelle / raisonnement / intelligence artificielle

>>> Théorie des ensembles (mathématiques modernes)

>>> Logique / algèbre de Boole

>>> Réalisation / circuits logiques / ordinateurs

>>> Additionneur

>>> Double ou exclusif

>>> Zéro en ou exclusif

 

 

 

 

 

FONCTION LOGIQUE "OU EXCLUSIF"

 

*    OU EXCLUSIF

*    DISJONCTION EXCLUSIVE

*    UNION EXCLUSIVE

 

De deux choses: l’une ou l’autre

mais pas les deux à la fois 

 

Fromage ou dessert mais pas les deux!

Anglais: Exclusive OR, abrégé en XOR 

 

 

Logique formelle – Raisonnement – Intelligence artificielle

Disjonction exclusive

 

S = A OUEX B

 

Simple

*      Je mets mon pull ou mon manteau, mais pas les deux.

 

Évolué

*      J’aime les animaux ou ce qui a de la fourrure, mais pas les animaux à fourrure.

 

Particulier

*      Je mange ma soupe ou ma viande.

*      Je prendrai le train ou l’avion.

*      Formulations non ambiguës.

 

  

THÉORIE DES ENSEMBLES

                      (Mathématiques modernes)

 

 

Union exclusive

Ou Différence symétrique

S = A w B

S = A B

 

 

On remarque que

 

A w B =

    (A sans B)

    OU

    (B sans A)

 

Qui se note

 

A w B =

  (A ET B)

  OU

  (B ET A)

 

Rappel

Le symbole  veut dire non

 

 

Diagramme de Venn

 

Voir Diagramme de Venn

 

 

 

LOGIQUE / ALGÈBRE DE BOOLE

 

OU EXCLUSIF (XOR)

 

S = A  B

 

 

Table de vérité

 

A

B

S = A  B

0

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

 

Fonctions

 

 

 

 

 

 

Diagramme de Karnaugh

 

Voir Diagramme de Karnaugh

 

 

 

 

 

RÉALISATION:

CIRCUITS LOGIQUES / ORDINATEURS

 

Circuit électrique:

           va-et-vient

 

 

 

Circuit électronique:

          porte ou-exclusif

 

 

 

 

 

 

APPLICATION: Additionneur

 

*      Comment construire le circuit logique qui permettra l'addition en binaire?

 

Table de vérité de l'addition

 

A

B

Retenue

R

Somme

S

0

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

 

*      L'unité correspond à un OU exclusif, quant à la retenue, c'est un ET

 

Addition en binaire

 

0 + 0 =   0

0 + 1 =   1

1 + 0 =   1

1 + 1 = 10

On se souvient que 10 binaire vaut 2 en décimal.

 

Circuit logique

 

Voir Explications détaillée et montage d'un additionneur complet

 

 

 

DOUBLE ou exclusif

 

*      Quelle est la table de vérité d'une telle expression S = A  B  C ?

*      Écrivons la table de vérité, en la décomposant en deux étapes de calcul. On notera également la quantité de 1 dans A,B et C.

 

 

A

B

S' = A  B

C

S = S'  C

Qté de 1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

0

2

0

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

2

1

0

1

1

0

2

1

1

0

1

1

3

 

*      Bilan: la double exclusivité donne 1 lorsque la quantité de 1 dans A, B et C est impaire.

*      On note aussi que la valeur 1 de C agit en inversant (1001) le ou exclusif  de A et B (0110).

 

Illustration

*      Le ou exclusif de A, B et C est à 1 pour les quatre parties colorées foncées et à 0 pour les trois parties en jaune clair.

*      Cette fonction est équivalente à la fonction parité impaire des varaibles ou encore à la somme mod 2 des variables.

Voir Théorie des ensembles

 

Exemple avec ensembles de nombres

Les 1, 5 et 7 sont exclusivement

dans A, B et C et le 4 est dans les trois

  

 

Fonction dans l'un mais dans aucun des autres

 

Le ou exclusifs sur trois variables élimine le "trèfle" sauf sa partie centrale.

Quelle est la fonction qui l'élimine aussi ?

 

 

 

Zéro en ou exclusif

 

*      Que se passe-t-il si on applique la même valeur sur les deux entrées d'une porte ou exclusif?

La sortie reste à zéro, bien entendu!

*      Un truc de programmation au bon vieux temps des assembleurs (langage très proche de la machine et qui devait être optimisé pour gagner en vitesse et en place mémoire):

Au lieu de mettre à zéro une cellule-mémoire, faire le ou exclusif d'une valeur avec elle-même, plutôt que de commander sa mise à zéro. On économise une instruction.

 

 

Sur un bit

 

A

A

A   A

0

0

0

1

1

0

 

 

 

 

 

Sur un mot de n bits

 

A =

1

1

0

0

1

0

A =

1

1

0

0

1

0

A   A=

0

0

0

0

0

0

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Voir

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*    Raisonnement

Sites

*      Algèbre des parties d'un ensemble – Wikipédia

*      Fonction OU exclusif – Wikipédia

*      Disjonction logique – Wikipédia

*      XOR – Wolfram MathWorld

*    Symmetric difference – Wikipedia

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Logique/LoLoOUex.htm