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CALCUL des CARRÉS

Nous savons calculer les carrés des nombres en

avec des 0, des 1, des 2 et des 5.

Voyons comment calculer les carrés des nombres en .9 et 9.

Nombres avec dizaines en 9

Remarquez:

98 = 100 – 2 = 100 – (8 – 2)

2 est le complément à 10 de 8.

Formule

(100 – a')² = 10 000 – 200a' + a'²

avec a' = 10 – a

Procédé

Il faut ajouter et retrancher les trois nombres ci-dessous en bonne position et en propageant la retenue:

dm	m	c	d	u
			a'²
1	0	0
– 2a'

Exemple: 92² = 8 464

a' = 10 – a = 8

dm	m	c	d	u
			a'²
1	0	0
– 2x 8
92² = 84			64

Exemples

91² = 10 000 – 1 800 + 81 = 8 281

92² = 10 000 – 1 600 + 64 = 8 464

93² = 10 000 – 1 400 + 49 = 8 649

94² = 10 000 – 1 200 + 36 = 8 836

95² = 10 000 – 1 000 + 25 = 9 025

96² = 10 000 – 800 + 16 = 9 216

97² = 10 000 – 600 + 9 = 9 409

98² = 10 000 – 400 + 4 = 9 604

99² = 10 000 – 200 + 1 = 9 801

Notez

Complication car il faut prendre le complément à l'unité.

Mais, assez facile car le carré occupe les deux derniers chiffres, alors que la soustraction occupe les deux premiers

Nombres qui se terminent par 9

Remarquez:

59 = 60 – 1 = 10 (5 + 1) – 1

Formule

(10(b+1) – 1)²

= 100(b+1)² – 20(b+1) + 1

Procédé

Il faut ajouter ces trois nombres en bonne position et en propageant les retenues:

m	c	d	u
			1
100 (b+1)²
– 20 (b+1)

Exemple: 89² = 7 921

m	c	d	u
			1
100 (b+1)²
– 20 (b+1)
89² = 100 x 81 – 20 x 9 + 1 = 8 100 – 180 + 1 = 7 921

Exemples

19² = 400 – 40 + 1 = 361

29² = 900 – 60 + 1 = 841

39² = 1 600 – 80 + 1 = 1 521

49² = 2 500 – 100 + 1 = 2 401

59² = 3 600 – 120 + 1 = 3 481

69² = 4 900 – 140 + 1 = 4 761

79² = 6 400 – 160 + 1 = 6 241

89² = 8 100 – 180 + 1 = 7 921

99² = 10 000 – 200 + 1 = 9 801

Notez

Le calcul purement mental commence à devenir difficile, surtout à partir de 59.

Par contre vous pouvez vous exercer en posant les opérations comme ci-dessus et à calculer mentalement le résultat.

Pour soustraire, il parfois plus pratique de soustraire plus et d'ajouter.

Par exemple pour 89, on pourra faire:
8 100 – 180 = 8 100 – 200 + 20 = 7 920;
et on ajoute le 1 final: 7 921.

Mais à chacun sa tactique de calcul!

Voir Méthode rapide et illustration de la méthode

Récapitulatif N°5: Nombres en .9 et en 9.
D / U	0	1	2	3	4	5	6	7	8		9
0.	0	1	4	9	16	25	36	49	64		81
1.	100	121	144	169	196	225	256	289	324		361
2.	400	441	484	529	576	625	676	729	784		841
3.	900	961	1 024	…9	…6	1 225	…6	…9	…4		1 521
4.	1 600	1 681	1 764	…9	…6	2 025	…6	…9	…4		2 401
5.	2 500	2 601	2 704	2 809	2 916	3 025	3 136	3 249	3 364		3 481
6.	3 600	3 721	3 844	…9	4 096	4 225	…6	…9	…4		4 761
7.	4 900	5 041	5 184	…9	…6	5 625	…6	…9	…4		6 241
8.	6 400	6 561	6 724	…9	…6	7 225	…6	…9	…4		7 921
9.	8 100	8 281	8 464	8 649	8 836	9 025	9 216	9 409	9 604		9 801

Remplissage 76 / 100

Nombres en "aa" (Rep-digit)

Les repdigits sont les nombres formés avec un seul chiffre répété.

Formule

(10a + a)² = 100a² + 20a + a²

Procédé

Concaténez deux fois le carré pour former un nombre à quatre chiffres et soustraire vingt fois le carré.

m	c	d	u
		a²
a²
2a²

Exemple: 88² = 7 744

88² = 6464 – 1280

m	c	d	u
		6 4
6 4
1 2 8
7 7 4 4

Exemples

11² = 100 + 20 + 1 = 121

22² = 400 + 80 + 4 = 484

33² = 900 + 180 + 9 = 1 089

44² = 1 600 + 320 + 16 = 1 936

55² = 2 500 + 500 + 25 = 3 025

66² = 3 600 + 720 + 36 = 4 356

77² = 4 900 + 980 + 49 = 5 929

88² = 6 400 + 1 280 + 64 = 7 744

99² = 8 100 + 1 620 + 81 = 9 801

Notez

Pour 11² et 12², on trouve le carré aux extrémités et deux fois le carré au centre. C'est aussi le cas pour al suite, mais, hélas, avec un effet de propagation des retenues.

Récapitulatif N°6: Nombres repdigits
D / U	0	1	2	3	4	5	6	7	8		9
0.	0	1	4	9	16	25	36	49	64		81
1.	100	121	144	169	196	225	256	289	324		361
2.	400	441	484	529	576	625	676	729	784		841
3.	900	961	1 024	1 089	…6	1 225	…6	…9	…4		1 521
4.	1 600	1 681	1 764	…9	1 936	2 025	…6	…9	…4		2 401
5.	2 500	2 601	2 704	2 809	2 916	3 025	3 136	3 249	3 364		3 481
6.	3 600	3 721	3 844	…9	4 096	4 225	4 356	…9	…4		4 761
7.	4 900	5 041	5 184	…9	…6	5 625	…6	5 929	…4		6 241
8.	6 400	6 561	6 724	…9	…6	7 225	…6	…9	7 744		7 921
9.	8 100	8 281	8 464	8 649	8 836	9 025	9 216	9 409	9 604		9 801

Remplissage 81 / 100

Suite	Calcul des carrés en 6 et en 4
Voir	Calcul des cubes Calcul des racines Calcul des racines par approximations Calcul du carré des impairs Calcul mental – Index Calcul mental des Carrés Carrés en géométrie Carrés magiques Identités remarquables Multiplications mentales Racine Unités des puissances
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