NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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CALCUL

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Calcul

CARRÉS

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Nombres géométriques

 

 

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Calcul mental

 

Calcul

 

Nombres carrés

Calcul des carrés

Unités des carrés

Calcul mental des carrés des nombres à deux chiffres

en 5

en 1 et 2

en 9

en 6 et 4

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Sommaire de cette page

>>> Carrés et progression des carrés

>>> Unités des carrés

>>> Récapitulatif N°1

>>> Carré des nombres terminés par 5 

>>> Nombres en 50 !

>>> Récapitulatif N°2

>>> À retenir

 

 

 

 

 

Calcul rapide du carré d'un nombre en …5

Produit des dizaines par dizaines plus une, et 25 en queue.

Voir Explications

 

 

 

CALCUL des CARRÉS

 

Le monde des carrés est comme un paysage de montagne.

 

*       d'abord on y distingue quelques repères

 

les carrés des nombres en 10, comme 20² = 400

ou le carré des puissances de 2, comme 16² = (24)2 = 256.

 

*       quelques familiers
 

le carré de 11 = 121, un palindrome

ou celui de 12 = 144, une grosse.

 

*       puis on s'habitue à certains qui sont typiques

     38² = 1444, un presque rep-digit

ou 26² = 676 un palindrome,

et 24² = 576, à 100 de distance du précédent.

 

 

Une exploration plus minutieuse va nous permettre de trouver d'autres relations intimes entre ces nombres: l'écart entre deux carrés, la progression de cet écart, etc.

 

En tout cas, le calcul des carrés, selon la méthode indiquée,

est un excellent moyen d'entraînement au calcul mental:

*       calcul simple sur les chiffres;

*       tout en exigeant une capacité de "mémorisation immédiate" limitée.

 

 

 

 

 

CARRÉS et progression des carrés

 

0² =         0

1² =         1

2² =         4

3² =         9

4² =       16

5² =       25

6² =       36

7² =       49

8² =       64

9² =       81

 

 

 

 

 Unités des carrés

 

*      Seules unités des carrés =>

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

 

 

Les unités bouclent en cercle

 

 

 

Récapitulatif N°1:

Unités, dizaines et puissances de deux

D / U

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

1.

100

…1

…4

…9

…6

…5

256

…9

…4

…1

2.

400

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

3.

900

…1

1 024

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

4.

1 600

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

5.

2 500

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

6.

3 600

…1

…4

…9

4 096

…5

…6

…9

…4

…1

7.

4 900

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

8.

6 400

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

9.

8 100

…1

…4

…9

…6

…5

…6

…9

…4

…1

Remplissage 22 / 100

Voir Puissance de deux

 

 

Carré des nombres terminés par 5

 

Formule

(10d + 5)² = 100d² + 100d + 25

                  = 100 (d² + d)    + 25

                  = 100 d (d + 1)  + 25

 

 

Exemple

65²     = 100 (36 + 6)    + 25

65²     = 42 25

 

Procédé 1

*      On ajoute le chiffre des dizaines et son carré, et

*      On place 25 à la suite.

 

Procédé 2 (le plus utilisé)

*      On multiplie le chiffre des dizaines par son successeur.

*      On place 25 à la suite.

 

  15² =            2 25

  25² =            6 25

  35² =          12 25

  45² =          20 25

  55² =          30 25

  65² =          42 25

  75² =          56 25

  85² =          72 25

  95² =          90 25

105² =        110 25

 

 

 

 

 

 

75² => 7 x 8 = 56

75² =                5625

Illustration  en Calcul en 5 

 

   

CALCUL du CARRÉ d'un nombre en …5

 

Procédé

 

 

Règle

 

Le carré d'un nombre commençant par A et se terminant par 5 commence par le produit A x (A+1) et se termine par 25.

 

Exemples

25²

=

20

x

30

+ 25

=

625

75²

=

70

x

80

+ 25

=

5625

125²

=

120

x

130

+ 25

=

15625

 

 

 

Nombres en 50

 

*      Carré des nombres en 50: non seulement les unités sont cycliques, et en plus:

*       on retrouve intégralement le carré des chiffres:
1, 4, 9, 16, 25 ...

*       le nombre de centaines est égal à 25 + le chiffre des unités:
52² => 25 + 2 = 27
52² =                  27 04

 

Formulation

On surligne les expressions pour indiquer qu'il faut y lire un nombre; mcdu pour milliers-centaines-dizaines-unités.

Explications

(50 + a)² = 2500 + 100a + a²

                  = 100 (25 + a) + a²

 

 

 

Récapitulatif N°2:

Nombres en .5 et en 5.

D / U

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.

0

1

4

9

16

25

36

49

64

81

1.

100

…1

…4

…9

…6

225

256

…9

…4

…1

2.

400

…1

…4

…9

…6

625

…6

…9

…4

…1

3.

900

…1

1 024

…9

…6

1 225

…6

…9

…4

…1

4.

1 600

…1

…4

…9

…6

2 025

…6

…9

…4

…1

5.

2 500

2 601

2 704

2 809

2 916

3 025

3 136

3 249

3 364

3 481

6.

3 600

…1

…4

…9

4 096

4 225

…6

…9

…4

…1

7.

4 900

…1

…4

…9

…6

5 625

…6

…9

…4

…1

8.

6 400

…1

…4

…9

…6

7 225

…6

…9

…4

…1

9.

8 100

…1

…4

…9

…6

9 025

…6

…9

…4

…1

Remplissage 39 / 100

 

 

Nous connaissons les carrés:

*    des unités => ligne rose en haut;

*    des dizaines => colonne rose à gauche;

*    des nombres terminés par 5 => colonne jaune au centre; et

*    des nombres en 50 => ligne jaune au centre.

 

 

 À retenir pour le calcul mental des carrés en 5

Voir Calcul mental – Index  / Brève n°329

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Calcul des carrés en 1 et 2

Voir

*    Calcul des cubes

*    Calcul des racines

*    Calcul des racines par approximations

*    Calcul du carré des impairs

*    Calcul mental – Index

*    Calcul mental des Carrés

*    Carrés en géométrie

*    Carrés magiques

*    Identités remarquables

*    Multiplications mentales

*    Racine

*    Unités des puissances

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