NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 17/05/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
	PUISSANCE de 2
Débutants Puissance	Nombres de Fermat et Mersenne			Glossaire Puissance
INDEX Puissance Décomposition Puissance de 2 Nombres en puissance		FERMAT (biographie)	MERSENNE (biographie)
		Nombres de Fermat	Nombres de Mersenne
		Valeurs et facteurs	Valeurs et facteurs
			Mersenne composés
		Diviseurs	Carol et Kynea
			Williams
		Sommaire de cette page >>> Table des valeurs de W >>> Nombres de Williams en base b >>> Bilan

NOMBRES de WILLIAMS

W_n = (b – 1)·bⁿ – 1

Les nombres de Williams en base 2 sont les nombres de Mersenne.

Table des valeurs de W
Table des valeurs de Wn . En rouge, les nombres premiers

Nombres de Williams en base b

À partir du tableau ci-dessus, pour chaque base b, on note la valeur de n pour laquelle W est premier.

En base 2, on retrouve les nombres de Mersenne premiers pour n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, …
Avec n = 5: (2 – 1) · 2⁵ – 1 = 31, nombre qui est premier; on retient n = 5 pour établit la liste ci-dessous.

2	2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...	A000043
3	1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104, ...	A003307
4	1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, ...	A272057
5	1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751, ...	A046865
6	1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, ...	A079906
7	1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, ...	A046866
8	3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, ...	A268061
9	1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, ...	A268356
10	1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567, ...	A056725

Les nombres premiers [41, 43, 53, 67, 71, 73, 83, 101, 109, …] sont les plus petits à ne pas figurer dans le tableau.

Bilan

Il existe la version généralisée des nombres de Williams :

Des tableaux concernant tous ces nombres se trouvent sur la page Wikipédia: Williams number.

Ces nombres sont très nombreux et ne sont pas répertoriés dans le DicoNombre.

Comme ceux de Mersenne, les nombres de Williams alimentent la recherche de très grands nombres premiers.

Les nombres de Thabit sont des Williams de la forme: 3·2ⁿ – 1.

Suite et Retour	Mersenne Mersenne composés Mersenne – Table des nombres et records Mersenne généralisés Fermat Nombres de Cunningham Nombres de Newman-Shanks-Williams Nombres sublimes
Voir	Carrés Magiques Géométrie – Index Humour – Index Jeux – Index Nombres magiques Rubriques débutants Théorie des nombres Tous les types de premiers
Site	Williams number – Wikipédia Williams prime – Prime Wiki Williams primes of the form 9•10^n-1 – Prime Wiki – Exemple de page énumérant l'état de la recherche de ces grands nombres

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Williams.htm