NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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PUISSANCE de 2

 

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Sommaire de cette page

>>> Table des valeurs de W

>>> Nombres de Williams en base b

>>> Bilan

 

 

 

NOMBRES de WILLIAMS

  

Wn = (b – 1)·bn – 1

 

Les nombres de Williams en base 2 sont les nombres de Mersenne.

 

 

 

 

Table des valeurs de W

 

Table des valeurs de Wn . En rouge, les nombres premiers

 

 

Nombres de Williams en base b

 

À partir du tableau ci-dessus, pour chaque base b, on note la valeur de n pour laquelle W est premier.

 

En base 2, on retrouve les nombres de Mersenne premiers pour n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, …
Avec n = 5: (2 – 1) · 25 – 1 = 31, nombre qui est premier; on retient n = 5 pour établit la liste ci-dessous.

 

2

2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933, ...

A000043

3

1, 2, 3, 7, 8, 12, 20, 23, 27, 35, 56, 62, 68, 131, 222, 384, 387, 579, 644, 1772, 3751, 5270, 6335, 8544, 9204, 12312, 18806, 21114, 49340, 75551, 90012, 128295, 143552, 147488, 1010743, 1063844, 1360104, ...

A003307

4

1, 2, 3, 9, 17, 19, 32, 38, 47, 103, 108, 153, 162, 229, 235, 637, 1638, 2102, 2567, 6338, 7449, 12845, 20814, 40165, 61815, 77965, 117380, 207420, 351019, 496350, 600523, 1156367, 2117707, 5742009, 5865925, 5947859, ...

A272057

5

1, 3, 9, 13, 15, 25, 39, 69, 165, 171, 209, 339, 2033, 6583, 15393, 282989, 498483, 504221, 754611, 864751, ...

A046865

6

1, 2, 6, 7, 11, 23, 33, 48, 68, 79, 116, 151, 205, 1016, 1332, 1448, 3481, 3566, 3665, 11233, 13363, 29166, 44358, 58530, 191706, ...

A079906

7

1, 2, 7, 18, 55, 69, 87, 119, 141, 189, 249, 354, 1586, 2135, 2865, 2930, 4214, 7167, 67485, 74402, 79326, ...

A046866

8

3, 7, 15, 59, 6127, 8703, 11619, 23403, 124299, ...

A268061

9

1, 2, 5, 25, 85, 92, 97, 649, 2017, 2978, 3577, 4985, 17978, 21365, 66002, 95305, 142199, ...

A268356

10

1, 3, 7, 19, 29, 37, 93, 935, 8415, 9631, 11143, 41475, 41917, 48051, 107663, 212903, 223871, 260253, 364521, 383643, 1009567, ...

A056725

 

Les nombres premiers [41, 43, 53, 67, 71, 73, 83, 101, 109, …] sont les plus petits à ne pas figurer dans le tableau.

 

 

Bilan

 

Il existe la version généralisée des nombres de Williams :

 

Des tableaux concernant tous ces nombres se trouvent sur la page Wikipédia: Williams number.

 

Ces nombres sont très nombreux et ne sont pas répertoriés  dans le DicoNombre.

 

Comme ceux de Mersenne, les nombres de Williams alimentent la recherche de très grands nombres premiers.

 

Les nombres de Thabit sont des Williams de la forme: 3·2n – 1.  

  

 

 

 

 

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Site

*       Williams number – Wikipédia

*      Williams prime – Prime Wiki

*      Williams primes of the form 9•10n-1 – Prime Wiki – Exemple de page énumérant l'état de la recherche de ces grands nombres

 

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Williams.htm