NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 23/06/2023 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Index général >>> INDEX	Index Divisibilité		A^n + B^n	Somme puissances
	A² + B²		A^n – B^n	Soustraction puissances
		Sommaire de cette page >>> Propriété classique (Rappel) >>> Divisibilité de a^n + b^n >>> Applications numériques >>> Applications composées

Divisibilité de aⁿ + bⁿ

En bref

Degré IMPAIR Seuls les binômes de degré impair sont divisibles par a + b. Exemples pour les degrés 3 et 5 =>
Degré PAIR Jamais divisible par a + b sauf cas figurant sur ce tableau Ex: (2² + 6²) / (2 + 6) = 40 / 8 = 5 (3^4 + 6^4) / (3 + 6) = 1377 / 9 = 153

Voir Identités en a^n + b^n et applications

Propriété classique (Rappel)
Si chaque terme de la somme est divisible par un nombre, la somme est divisible par ce nombre. Facile! Le reste de la page l'est tout autant Pour un résultat bluffant …	Exemple 7 (14 + 28 + 70) Se lit 7 divise 14+28+70 En effet 7 x 2 + 7 x 4 + 7 x 10 = 7 (2 + 4 + 10) = 7 x 16

Divisibilité de a^n + b^n
Carré	a^2 + b^2	= (a + b)(a + b) – 2ab NON divisible
Cube Divisible par a + b (cf propriété ci-dessus)	a^3 + b^3	= (a^2 + b^2) (a + b) – a^2b – ab^2 = (a^2 + b^2) (a + b) – ab (a + b) OUI divisible par a + b
Puissance n = 4	a^4 + b^4	= (a^3 + b^3) (a + b) – a^3b – ab^3 = (a^3 + b^3) (a + b) – ab (a^2+ b^2) NON
Puissance n = 5 Divisible par a + b	a^5 + b^5	= (a^4 + b^4) (a + b) – a^4b – ab^4 = (a^4 + b^4) (a + b) – ab (a^3 + b^3) OUI
Etc.	...
Puissance n = 2k (paire) NON divisible par a+b	a + b	a^n + b^n
Puissance n = 2k+1 (impaire) Divisible par a+b	a + b	a^n + b^n avec n = 2k+1
a^n + b^n est divisible par a + b pour toutes les puissances n impaires.

Voir Identités remarquables

Applications numériques

1 + 2 1ⁿ + 2ⁿ

pour tout n impair

ou

1ⁿ + 2ⁿ est divisible par 3 pour tout n impair

ou

une puissance de 2 augmentée d'une unité est divisible par 3 pour tout n impair.

	1^n	2^n	1^n + 2^n	S / 3
n = 1	1	2	3	1
2	1	4	5	1,6666666
3	1	8	9	3
4	1	16	17	5,6666666
5	1	32	33	11
6	1	64	65	21,666666
7	1	128	129	43
8	1	256	257	85,666666
9	1	512	513	171
10	1	1024	1025	341,66666

1 + 3 1ⁿ + 3ⁿ pour tout n impair

ou

1ⁿ + 3ⁿ est

divisible par 4 pour tout n impair.

	1^n	3^n	1^n + 3^n	S / 4
n =1	1	3	4	1
2	1	9	10	2,5
3	1	27	28	7
4	1	81	82	20,5
5	1	243	244	61
6	1	729	730	182,5
7	1	2187	2188	547
8	1	6561	6562	1640,5
9	1	19683	19684	4921
10	1	59049	59050	14762,5

7 + 8 7ⁿ + 8ⁿ pour tout n impair

ou

7ⁿ + 8ⁿ est divisible par 15 pour tout n impair.

	7^n	8^n	7^n + 8^n	S / 15
n = 1	7	8	15	1
2	49	64	113	7,53333333
3	343	512	855	57
4	2401	4096	6497	433,133333
5	16807	32768	49575	3305
6	117649	262144	379793	25319,5333
7	823543	2097152	2920695	194713
8	5764801	16777216	22542017	1502801,13
9	40353607	134217728	174571335	11638089
10	282475249	1073741824	1356217073	90414471,5

Applications composées
Considérons la somme des puissances des six premiers nombres. On peut tout aussi bien l'écrire, en faisant apparaître une somme des chiffres identique (ici, égale à 7).	1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n (1^n + 6^n) + (2^n + 5^n) + (3^n + 4^n)
Or, nous venons juste de voir que les expressions entre parenthèse sont divisibles par la somme de leurs nombres.	7 = 1 + 6 | 1^n + 6^n 7 = 2 + 5 | 2^n + 5^n 7 = 3 + 4 | 3^n + 4^n
Les termes de la somme, pris deux à deux, sont divisibles par 7. La somme est aussi divisible par 7 (encore une application du rappel de tête).	(1^n + 6^n) + (2^n + 5^n) + (3^n + 4^n) = 7 k + 7 k' + 7k" = 7 (k + k' + k")
Conclusion La somme des puissances des nombres jusqu'à 6 est divisible par 7 pour toutes les puissances impaires. La généralisation au-delà du cas particulier de 7 est possible. >>>	7 | 1^n + 2^n + 3^n + 4^n + 5^n + 6^n pour n = 2k+ 1

Suite	Divisibilité – Index Somme de puissances
Voir	Diviseurs Nombres consécutifs
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