NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 13/03/2019

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                      Brèves de Maths

      

Carrés magiques

 

Débutants

Carrés

magiques

GÉOMÉTRIQUES

 

Glossaire

Carrés

magiques

 

 

INDEX

 

Carrés magiques

 

Magie

Général

Polygones

Étoiles

Cubes

Rectangles

Hexagones

 Couronnes

Sphères

Cercles

 

Sommaire de cette page

>>> Couronne magique

>>> Autres couronnes

 

 

 

 

 

Couronnes magiques

Carrés magiques creux

 

Carrés magiques dont on a supprimé la zone centrale.

Anglais: Magic annulus / Hollow magic square

 

 

Couronne magique

 

Défi

Un carré magique 3x3 sans le carré central.

Remplir avec les nombres de 1 à 8 tel que les quatre sommes lignes et colonnes soient égales.

 

Exemple

1 + 5 + 6 = 1 + 8 + 3

6 + 4 + 2 = 3 + 7 + 2 = 12  = m

 

 

Générique              et          exemple

 

Notations

 

Avec les médians

 

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 = 36

 

S = 36 = 2m + e + f

S = 36 = 2m + g + h

 

         e + f = g + h = t

 

Sommes

  S =       36 = 2m + t

2S = 2 x 36 + 4m + 2t

  S =       36 =   s  + 2t

  S =       36 = 4m – s

s = 4 (m – 9)

s est donc divisible par 4.

Min Max

 

smin = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

smax = 5 + 6 + 7 + 8 = 26

 

La somme des coins peut prendre les valeurs de 10 à 26.

Or, s est divisible par 4. Soit les valeurs possibles de s et, par calcul les valeurs possibles de m et de t.

s = (12, 16, 20, 24)

 

m = (12, 13, 14, 15)

 

t   = (12, 10, 8, 6)

Possibilités pour t

t = e + f = g + h = (12, 10, 8, 6)

 

Avec les possibilités énoncées, il y a
1 + 3 + 3 + 1 = 8 couples possibles.

12 = 4 + 8 = 5 + 7

10 = 1 + 9 = 2 + 8 = 3 + 7

  8 = 1 + 7 = 2 + 6 = 3 + 5

  6 = 1 + 5 = 2 + 4

Les six solutions

En testant les 8 couples 6 sont compatibles avec la formation de la couronne magique.

En haut de la solution, la valeur de t qui est retenue et la valeur de la constante magique.

 

 

Avec symétries et rotations, il y a 48 solutions.

 

Autres couronnes

Grilles 2x2 et 4x4

Aucune solution avec  une grille 2x2.

C'est le cas aussi avec une grille 4x4.

 

Dans ce cas, avec les mêmes notations, on a

Somme des nombres de 1 à 12 = 6 x 13 = 78, et 78 = 4m – s

Or 78  = 4 x 19,5 n'est pas divisible par 4.

Grille 5x5

Avec une grille 5x5, la somme des nombres de 1 à 16 vaut 8 x17 = 136, divisible par 4. La couronne magique 6x6 devrait avoir des solutions.

La somme des coins "s" prendre des valeurs entre: 1+2+3+4 = 10 et 9+10+11+12 = 42.

Celle des médians "t" peut varier entre: 1+2+3+4+5+6 = 21 et 16+15+14+13+12+11= 81.

Plages compatibles. Nombreuses solutions.

 

Exemples

t = 60 = 3 + 4 + 9 + 13 + 15 + 16  = 6 + 7 + 10 + 11 + 12 + 14

=> m = 38  et s = 16

L'ordre des médians sur chaque ligne ou colonne est indifférent.

 

Paramètres du second exemple:  m = 40; s = 24 et t = 56

 

La recherche d'autres solutions peut se faire avec le tableur en fixant les trois paramètres et en procédant par approximations successives.

136 = 4m – s

s = (10 à 42) => m = (36 à 44)

 

136 = 2m + t

t = (21 à 81) =>  m = (57 à 27)

 

Exemples

 

 

 

Suite

*         Sphères magiques

*         Rectangles  magiques

Voir

*         Tous les carrés plus que parfaits 4x4

*         Carré plus que parfait 8x8

*         Carrés magiquesIndex

*         JeuxIndex

Sites

*         Jeux mathématiques du Monde – Élisabeth Busser et Gilles Cohen – Énigme proposée à la page 268

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/aaaCMag/Couronne.htm