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MATRICES – Multiplication

Une opération un peu compliquée, mais une fois apprivoisée …

M x M' = ???

Voir Débutants / Novices

APPROCHE

Multiplier par un nombre, facile: il s'agit d'une addition multiple.

Voyons pour deux matrices simples: vecteur-ligne par vecteur-colonne: somme des produits des coefficients de même rang

Le produit est dit "produit scalaire"

4 x	5	6	=	20	24
	7	8		28	32

1	2	x	5	= 1x5 + 2x7 = 19
			7

			x	5	= 2x5 - 4x6 + 8x7 = 10 – 24 + 56 = 42
2	4	8		-6
				7

MULTIPLICATION Matrice 2 x 2

La matrice résultat est formée de coefficients qui sont le produit de la matrice ligne par la matrice colonne, toutes deux correspondant au rang du coefficient résultat.

1	2	x	5	6	=	a	b
3	4		7	8		c	d

Calcul

1	2	x	5	= 1x5 + 2x7 = 19= a
			7

1	2	x	6	= 1x6 + 2x8 = 22= b
			8

3	4	x	5	= 3x5 + 4x7 = 43= c
			7

3	4	x	6	= 3x6 + 4x8 = 50= d
			8

Résultat

1	2	x	5	6	=	19	22
3	4		7	8		43	50

Quelques résultats pour vous entraîner.

1	0	x	1	1	=	1	1
0	1		1	1		1	1

0	1	x	1	1	=	0	1
1	1		0	1		1	2

1	1	x	1	0	=	2	0
0	0		1	0		0	0

1	1	x	1	1	=	2	2
1	1		1	1		2	2

1	1	x	1	1	=	0	0
1	1		-1	-1		0	0

1	1	x	2	2	=	3	3
2	2		1	1		6	6

1	0	x	a	b	=	a	b
0	1		c	d		c	d

10	11	x	7	8	=	169	190
12	13		9	10		201	226

Formule générique

a	b	x	x	y	=	ax + bz	ay + bt
c	d		z	t		cx + dz	cy + dt

MULTIPLICATION Matrice 3 x 3

Même principe que pour 2 x 2

en utilisant, pour chaque nouveau coefficient,

le produit de la ligne par la colonne qui lui correspond.

1	2	3	x	1	2	3	=	a	b	c
2	3	1		2	3	1		d	e	f
3	1	2		3	1	2		g	h	i

Calcul

			x	1	= 1x1 + 2x2 + 3x3 = 14= a
1	2	3		2
				3

			x	2	= 1x2 + 2x3 + 3x1 = 11= b
1	2	3		3
				1

Etc.

Résultat

1	2	3	1	2	3	14	11	11
2	3	1	2	3	1	11	14	11
3	1	2	3	1	2	11	11	14

Quelques résultats pour vous entraîner.

1	0	0	x	1	2	3	=	1	2	3
0	1	0		4	5	6		4	5	6
0	0	1		7	8	9		7	8	9

1	1	1	x	1	2	3	=	12	15	18
1	1	1		4	5	6		12	15	18
1	1	1		7	8	9		12	15	18

1	1	1	x	2	2	2	=	6	6	6
1	1	1		2	2	2		6	6	6
1	1	1		2	2	2		6	6	6

1	1	1	x	2	2	0	=	6	6	0
1	1	1		2	2	0		6	6	0
0	0	0		2	2	0		0	0	0

1	2	3	x	1	2	3	=	30	36	42
4	5	6		4	5	6		66	81	96
7	8	9		7	8	9		102	126	150

8	9	10	x	16	15	14	=	345	318	291
11	12	13		13	12	11		462	426	390
14	15	16		10	9	8		579	534	489

1	-1	1	x	a	b	c	=	a-96	b-96	c-96
-1	1	-1		100	100	100		-a+96	-b+96	-c+96
1	-1	1		4	4	4		a-96	b-96	c-96

Formule générique

a	b	c	x	x	y	z
d	e	f		r	s	t
g	h	i		u	v	w

=	ax + br + cu	ay + bs + cv	az + bt + cw
	dx + er + fu	dy + es + fv	dz + et + fw
	gx + hr + iu	gy + hs + iv	gz + ht + iw

NB

Le produit de deux matrices est toujours possible sur des matrices carrées

Il est aussi possible si le nombre de colonnes de A et égal au nombre de lignes de B

Exemple de produit de matrices (2,4) par (4,2), résultat une matrice 4,4)

1	4	x					=	17	14	11	8
2	3		1	2	3	4		14	13	12	11
3	2		4	3	2	1		11	12	13	14
4	1							8	11	14	17

Calcul

1	4	x	1	= 1x1 + 4x4 = 17
			4

1	4	x	2	= 1x2 + 4x3 = 14
			3

Etc.

SUITE	Inversion
Voir	Équations Outils mathématiques Théorie des nombres
Sites	Matrice (mathématiques) - Wikipédia Matrice – Résumé des cours – BibM@th.net Matrix -- from Wolfram MathWorld
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Outils/Matrice/Multipli.htm