NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 07/05/2018 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Brèves de Maths
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Généralisation

du petit théorème de Fermat

En 1736, Euler démontre ce théorème et le généralise.

Voici une généralisation immédiate.

En 1760, il publie sa généralisation avec indicateur d'Euler

En bref

Petit théorème de Fermat Si a et p sont étrangers et p premier. Généralisation d'Euler Si a et p.q sont étrangers avec p et q premiers Cette propriété est déduite de la première par la loi de multiplication en arithmétique modulaire Ce théorème d'Euler est utilisé pour réaliser le codage RSA Autre formulation plus générale Soit m > 0; si PGCD (a,m) = 1 mod m Phi est l'indicatrice d'Euler: quantité de nombres premiers inférieurs à m.

Exemples

p = 3 et q = 5

a	a^(^p-1)(q-1) mod p.q	PGCD (a, p.q)
1	1	1
2	1	1
3	6	3
4	1	1
5	10	5
6	6	3
7	1	1
8	1	1
9	6	3
10	10	5
11	1	1
12	6	3
13	1	1
14	1	1
15	0	15

p = 3 et q = 7

a	a^(p-1)(q-1) mod p.q	PGCD(a,p.q)
1	1	1
2	1	1
3	15	3
4	1	1
5	1	1
6	15	3
7	7	7
8	1	1
9	15	3
10	1	1
11	1	1
12	15	3
13	1	1
14	7	7
15	15	3

Suite	Le petit théorème de Fermat Découverte Exploration Démonstration Application à la factorisation Les puissances de 7 modulo 11
Voir	Nombre pseudo-premier Test de primalité Divisibilité par 11 Divisibilité par 42
Découvrir	Modulo & Congruences Nombres Premiers Théorème de Fermat-Wiles
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