NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 30/03/2014 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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PETIT THÉORÈME DE FERMAT

& Puissances des nombres

Déductions immédiates du Petit Théorème de Fermat (PTF) sur la forme de la puissance des nombres.

Voir PTF et le polynôme n^k – n

Carrés
Petit théorème de Fermat avec p = 3 a^3 - 1– 1 = 0 mod 3 2^2 – 1 = 0 mod 3 3^2 – 1 0 mod 3 4^2 – 1 = 0 mod 3 5^2 – 1 = 0 mod 3 6^2 – 1 0 mod 3 Tous les carrés sont de la forme 3k + 1, sauf pour les nombres divisibles par 3.

Cubes
Petit théorème de Fermat avec p = 3 a^3– a = 0 mod 3 2^3 – 2 = 0 mod 3 3^3 – 3 = 0 mod 3 4^3 – 4 = 0 mod 3 5^3 – 5 = 0 mod 3 6^3 – 6 = 0 mod 3 Tous les cubes sont de la forme: n^3 = 3k + n

Bicarrés (P4)
Petit théorème de Fermat avec p = 5 a^5 - 1– 1 = 0 mod 5 Tous les bicarrés sont de la forme 5k + 1, sauf pour les nombres divisibles par 5.

Puissance 5
Petit théorème de Fermat avec p = 5 a^5– a = 0 mod 5 Toutes les puissances 5 sont de la forme 5k + n.

Puissance 6
Petit théorème de Fermat avec p = 7 a^7 - 1– 1 = 0 mod 7 Toutes les puissances 6 sont de la forme 7k + 1, sauf pour les nombres divisibles par 7.

Puissance 7
Petit théorème de Fermat avec p = 7 a^7– a = 0 mod 7 Toutes les puissances 7 sont de la forme 7k + n.

Puissance 10
Petit théorème de Fermat avec p = 11 a^11 - 1– 1 = 0 mod 11 Ex: 4^10 / 11 a un reste égal à 1. En effet: 4^10 = 1 048 576 = 95 325 x 11 + 1 Toutes les puissances 10 sont de la forme 11k + 1, sauf pour les nombres divisibles par 11.

Puissance 11
Petit théorème de Fermat avec p = 11 a^11– a = 0 mod 11 Ex: 4^11 / 11 a un reste égal à 4. En effet: 4^11 = 4 194 304 = 381 300 x 11 + 4 Toutes les puissances 11 sont de la forme 11k + n, sauf pour les nombres divisibles par 5.

Tableau
Premier	Forme de la puissance	Conditions	Exemples
p = 3	n^2 = 3k + 1 n^3 = 3k + n	sauf si 3 n n	4^2 / 3 reste 1 3^3 / 3 reste 3 soit 0
p = 5	n^4 = 5k + 1 n^5 = 5k + n	sauf si 5 n n	4^4 / 5 reste 1 3^5 / 5 reste 3
p = 7	n^6 = 7k + 1 n^7 = 7k + n	sauf si 7 n n	4^6 / 7 reste 1 3^7 / 7 reste 3
p = 11	n^10 = 11k + 1 n^11 = 11k + n	sauf si 11 n n	4^10 / 11 reste 1 3^11 / 11 reste 3
p = 13	n^12 = 13k + 1 n^13 = 13k + n	sauf si 13 n n	4^12 / 13 reste 1 3^13 / 13 reste 3
etc.
Exemple de déduction {3^3, 3^5 , 3^7, 3^11, 3^13, … 3^p, …} divisés par leur exposant donne 3 pour reste.

Suite	Le petit théorème de Fermat Découverte Exploration
Voir	Nombre pseudo-premier Test de primalité Divisibilité par 11 Divisibilité par 42
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