NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Exercice du fermier et pommes de terre

>>> Pourquoi cet exercice est important?

 

 

 

ÉQUATIONS du DEUXIÈME DEGRÉ

Initiation

 

Exemple simple de résolution conduisant à la notion de dérivée sur une fonction du deuxième degré.

 

 

Exercice du fermier et pommes de terre

Le chiffre d'affaires est le montant d'argent qu'il recevra pour sa vente (c'est le montant  des factures qu'il va engranger).

Stock de  1 700 kg à 1,20 euros / kg

=> 1 700 x 1,20 = 2 040 euros

 

 

Récolte quotidienne: 75 kg / jour

*    En 30 jours: 30 x 75 = 2 250 kg

Prix des pommes de terre

*    au jour 0: 1,20 euro / kg

Tous les jours le prix diminue de 3 centimes par kg
Attention, ce n'est pas un pourcentage; c'est une valeur en moins à chaque jour.

*    au jour 1: 1,20 – 0,03 = 1,17 euro / kg

*    au jour 2: 1,20 – 2 x 0,03 = 1,14 euro / kg

*     

*    au jour 30: 1,20 – 0,03 x 30 = 0,30  euro / kg

 

Le prix au kg me semble bien faible; je me conforte en refaisant le calcul: 3 x 30 = 90 centimes de baisse sur les 30 jours. Oui, c'est beaucoup. Espérons que ce n'est pas un cas réel!

 

Chiffre d'affaires: (1 700 + 2 250) x 0,3 = 1 185 euros

 

 

 

 

La question précédente nous a préparés à cette formulation algébrique.

*    Q(n) = 75 n

*    P(n) = 1,20 – 0,03 n

 

 

 

Pour le calcul du chiffre d'affaires, ne pas oublier la récolte initiale.

R(n) = (1700  + Q(n) ) x P(n)

              = (1700 + 75 n) x (1,20 – 0,03n)

              = 1700 x 1,20 – 1700 x 0,03 n + 75 x 1,20 n – 75 x 0,03 n²

                   = – 2,25 n² + 39 n + 2 040

 

Graphe pour disposer de l'allure de la fonction. Je constate que la courbe passe par un maximum vers n = 9.

 

Tableau des valeurs pour les 30 jours

n

R(n)

Écart

0

 2 040,0

/

1

 2 076,75

36,75

2

 2 109,00

32,25

3

 2 136,75

27,75

4

 2 160,00

23,25

5

 2 178,75

18,75

6

 2 193,00

14,25

7

 2 202,75

9,75

8

 2 208,00

5,25

9

 2 208,75

0,75

10

 2 205,00

-3,75

11

 2 196,75

-8,25

12

 2 184,00

-12,75

13

 2 166,75

-17,25

14

 2 145,00

-21,75

15

 2 118,75

-26,25

16

 2 088,00

-30,75

17

 2 052,75

-35,25

18

 2 013,00

-39,75

19

 1 968,75

-44,25

20

 1 920,00

-48,75

21

 1 866,75

-53,25

22

 1 809,00

-57,75

23

 1 746,75

-62,25

24

 1 680,00

-66,75

25

 1 608,75

-71,25

26

 1 533,00

-75,75

27

 1 452,75

-80,25

28

 1 368,00

-84,75

29

 1 278,75

-89,25

30

 1 185,00

-93,75

 

Je vérifie que j'obtiens bien les valeurs calculées précédemment pour n = 0 et n = 30.

 

 

 

 

Le maximum est atteint au neuvième jour

pour un chiffre d'affaires de 2 208,75 euros.

 

Pour information: valeur exacte pour le jour 8,666… et pour 2 209 euros.

Un graphe détaillé montre ces valeurs:

 

 

 

Pourquoi cet exercice est important?

 

Cet exercice constitue une introduction à l'étude des polynômes du second degré

ax²  + bx  + c.

 

Ceux-ci sont très importants en physique. Par exemple, la courbe de l'exercice pourrait être la trajectoire d'un projectile (avec le temps en abscisse). Le point haut est le moment ou le projectile atteint son maximum avant de retomber.

 

Deux types de questions vont alors se poser avec les polynômes:

-      quels sont les points de passages par des extremums, et

-      quels sont les points de passages par l'ordonnée 0.

 

L'étude des extremums conduira à la notion de dérivée. Une nouvelle notion qui va suivre l'élève de seconde durant toutes ses études à partir de maintenant. Pas de panique: dérivée veut dire simplement tangent à la courbe ou encore vitesse de variation ou encore pente.

Voir Dérivée / Vitesse

 

On peut retenir:

En physique, on parle de vitesse; en maths, on dit dérivée.

 

La courbe de détail ci-dessus montre que le maximum est atteint pour n = 8,666… et y = 2 209. Le calcul de la dérivée permet de trouver ces valeurs exactes sans faire le tableau ni la courbe.

 

Pour info voici le calcul: R(n) = – 2,25 n² + 39 n + 2 040

On calcule la dérivée* : 2 . (-2,25) n + 39  = - 4.5 n + 39

Et cette dérivée est égale à 0 pour 8,666…

* On verra plus tard dans le cours comment on fait.
La recette: chaque exposant est mis en coefficient du monôme et il est aussi remis en exposant en lui retranchant 1. Voir ce que devient le 2 de n² ci-dessus. Les termes constants disparaissent.

 

C'est Newton et Leibniz (indépendamment et en s'en disputant la paternité) qui ont mis au point ces méthodes de calcul à la fin des années 1600.

Depuis, on sait calculer la trajectoire des planètes et bien d'autres choses.

Voir Dérivée en première – Technique de calcul

 

 

L'étude du passage par 0, ou point d'intersection de la courbe avec l'axe des x, va conduire à la résolution des équations du second degré.

 

Par exemple: x² – 3x + 2 = 0  pour x = 1 et x = 2.

Ces deux valeurs s'appellent les racines de l'équation. 

 

Dans le cas de R(n) de l'exercice, si le fermier s'acharnait à produire des pommes de terre, son chiffre d'affaires serait nul au 40e jour (jour où le kg vaut 0 euro)

La courbe passe également par 0 pour n = -22,666… À raison de 75 kg par jour, le fermier aurait commencé sa récolte il y a 22,666 … jours pour obtenir  les 1 700 kg qu'il a aujourd'hui.  (22,666 x 75 = 1 700).

 

 

 

 

 

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