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Équations du troisième degré Recherche des solutions (2/2) <<<
Voir première page. Désormais, après nos premiers
calculs, nous nous retrouvons dans le monde du deuxième degré, équation que
nous savons résoudre. |
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On cherche à connaître les
valeurs des cubes des y. Elles sont racines de l'équation formée par le
produit classique avec les racines. |
= 0 |
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Si nous transposons cette
équation de départ en posant X = x + a1 / 3.
Tous calculs faits, on
trouve
On note |
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Relations entre racines et
coefficients |
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Fonctions symétriques
(valeur générique en a et application à notre cas en p, q). |
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Les cubes sont les racines
de |
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Racines de l'équation du deuxième degré |
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Finalisation |
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Retour sur les valeurs des
y.
Tous calculs faits, on
trouve (compte tenu des propriétés de j et j²; notamment 1 + j + j² = 0) |
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Or
Ce qui permet de simplifier |
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Ce qui conduit aux valeurs des
solutions en X (Formules de Cardan).
Restera à passer aux x avec |
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Bilan
Nous sommes au terme des calculs. La leçon est que le
chemin est bien long et tordu pour arriver à la conclusion. Et encore plus
long pour le quatrième degré. Cependant, la résolution a été rendue possible
par l'introduction de fonctions symétriques.
Cette opération est possible jusqu'au quatrième degré, mais impossible pour
le cinquième. |
Page
créée d'après le site indiqué de Jan Nekovar
Suite |
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Voir |
Calcul – Index
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Site |
Introduction à la
théorie de Galois et la géométrie algébrique par Jan Nekovar.
Le texte se poursuit avec: le quatrième degré, les polynômes symétriques, le
corps des racines d'équations, Groupes de Galois, résolution ou non des
équations par radicaux. |
Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Equat3.htm |