NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 09/02/2013 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	ALGÈBRE
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Équations du troisième degré

Recherche des solutions

(2/2)

<<< Voir première page.

Désormais, après nos premiers calculs, nous nous retrouvons dans le monde du deuxième degré, équation que nous savons résoudre.

En route vers les solutions – 2^e degré
On cherche à connaître les valeurs des cubes des y. Elles sont racines de l'équation formée par le produit classique avec les racines.	= 0
Si nous transposons cette équation de départ en posant X = x + a1 / 3. Tous calculs faits, on trouve On note
Relations entre racines et coefficients
Fonctions symétriques (valeur générique en a et application à notre cas en p, q).
Les cubes sont les racines de
Racines de l'équation du deuxième degré

Finalisation
Retour sur les valeurs des y. Tous calculs faits, on trouve (compte tenu des propriétés de j et j²; notamment 1 + j + j² = 0)
Or Ce qui permet de simplifier
Ce qui conduit aux valeurs des solutions en X (Formules de Cardan). Restera à passer aux x avec x = X – a1 /3

Bilan

Nous sommes au terme des calculs. La leçon est que le chemin est bien long et tordu pour arriver à la conclusion. Et encore plus long pour le quatrième degré. Cependant, la résolution a été rendue possible par l'introduction de fonctions symétriques. Cette opération est possible jusqu'au quatrième degré, mais impossible pour le cinquième.

Page créée d'après le site indiqué de Jan Nekovar

Suite	Équation du troisième degré – Résolution en pratique
Voir	Calcul – Index
Site	Introduction à la théorie de Galois et la géométrie algébrique par Jan Nekovar. Le texte se poursuit avec: le quatrième degré, les polynômes symétriques, le corps des racines d'équations, Groupes de Galois, résolution ou non des équations par radicaux.
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Referenc/Outils/Outils/Structur/Equat3.htm