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Édition du: 25/07/2022 |
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INDEX |
Structures algébriques |
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Relation binaire,
équivalence |
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Relation BINAIRE Ensemble quotient Propriété reliant deux éléments d'un ensemble.
Les plus connues sont les propriétés communes, les comparaisons numériques ou alphabétiques,
les inclusions, etc. Les éléments partageant les mêmes propriétés
forment des sous-ensembles d'éléments appelés classes
d'équivalence. |
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Sommaire de cette page >>> Relation
binaire >>>
Ensemble quotient |
Débutants Glossaire |
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Propriétés
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Réflexive |
Relation
telle que x est en relation avec lui-même.
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Symétrique |
Les éléments sont
permutables.
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Antisymétrique |
Relation telle
que la conclusion est: x = y
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Transitive |
Relation
telle que la propriété se transmet:
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La pizza jambon et la pizza bacon sont à10 euros. Elles sont
équivalentes pour le prix. Elles font partie de la classe
des pizzas à 10 euros. |
L'ensemble des pizzas est partitionnés en deux classes exclusives, chaque sous-ensemble appartient à
l'ensemble quotient de l'ensemble des pizzas par la relation prix à 10 ou 15
euros. |
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Prenons les nombres entiers N. Choisissons la relation de congruence 3. Il existe des nombres divisibles par 3, d'autres avec un reste égal à
1 et ceux dont le reste est 2. Soit trois classes. |
L'ensemble des entiers est partagé en trois classes. L'ensemble résultant est dit ensemble quotient |
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On peut définir l'ensemble quotient
de façon abrégé comme ceci: |
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La notion de relation d’ ́equivalence
sur un ensemble E est
rigoureusement équivalente à la
notion de partition de E en sous-ensembles
deux à deux disjoints. |
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La relation
d'équivalence est une relation binaire qui est:
Classe d'équivalence d'un élément x: tous les y qui sont en relations
d'équivalence avec x. On note u surligné. On trouve également la notation suivante dont la lecture est: La
relation d'équivalence R de x est égale aux éléments y de l'ensemble E tels
que x est en relation avec y. |
est une relation d'équivalence.
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Pour "pinailler" et donner un exemple: les mathématiciens
écrivent l'égalité: Alors qu'il faudrait écrire (avec ~ qui signifie équivalence).
Indiquant que le résultat est le même mais les deux écritures sont
différentes. |
a + b + c
= a + c + b a + b + c
~ a + c + b |
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Deux ensembles E et F sont équivalents si les éléments de E
apparaissent (au moins une fois) dans F et réciproquement. |
Ces ensembles sont équivalents: On retient le premier comme les représentant tous. |
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Le représentant de la classe est appelé le représentant canonique. Comme la fraction simplifiée dans la classe des fractions. |
Canon( 25/35) = 5/7 => (25/35) et (35/49) |
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Une relation
d'équivalence permet de regrouper des éléments similaires car
partageant les mêmes propriétés. Comme les nombres divisibles par 2 ou par 3. L'ensemble source est alors partagé en
plusieurs sous-ensembles. Chaque portion est une classe
d'équivalence. Avec cette partition, l'ensemble de départ qui contient les
classes devient l'ensemble quotient. L'ensemble de départ énumérant tous ses
éléments et celui faisant état d'une partition (l'ensemble quotient) sont les
mêmes. Sauf à composer des ensembles entre eux. |
Les enfants en rangs par deux sont sur deux
files: ceux à numéros pairs et ceux à numéros impairs. L'assemblée des enfants est répartie en deux classes, les pairs et les impairs. L'assemblée devient l'ensemble quotient pair/impair. |
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SUITE en ENSEMBLE QUOTIENT
Voir Congruences
/ Modulo
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