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22 Novembre
2025
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Édition du: 14/04/2026 |
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INDEX |
Triangles entiers |
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Triangles à CÔTÉS ENTIERS Triangles dont les mesures des côtés sont des nombres entiers.
Évidemment son périmètre est un nombre entier. La page suivante décrit des triangles
entiers spécifiques, des triangles dont d'autres
mesures sont aussi des nombres entiers. Savez-vous qu'il existe 2024 triangles entiers qui
tiennent dans un cercle de 15 cm de rayon ! |
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Sommaire de cette page >>> Approche >>> Classement >>> Triangles dans le cercle de rayon 1 >>> Triangles dans le cercle de rayon 2 >>> Statistiques >>> Cas des triangles dans un cercle de R < 15 |
Débutants Glossaire |
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Recherche des triangles entiers Avec un programme, il
est possibles de balayer tous les nombres entiers pour a, b et c (les côtés
du triangle) et de ne retenir que les triplets qui forment effectivement un
triangle. La condition pour qu'un
triangle existe est que chaque côté soit plus long que la somme des deux
autres. Sinon, avec deux côtés
trop courts, le troisième sommet n'existe pas. Formellement, pour de
vrais triangles, cette inégalité
triangulaire s'énonce:
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Existence d'un triangle
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Le plus petit triangle entier C'est le triangle
équilatéral de côté unité. Aire du triangle:
Rayon du cercle
circonscrit
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Calcul Si s est le
demi-périmètre, formule
de Héron:
et le rayon du cercle
circonscrit:
Compter Il faut éliminer les cas
de côtés identiques à une permutation près. Ex: (3, 3, 2) et (3, 2, 3). Un classement par rayon
circonscrit croissant ne marche pas. Il existe des triangles différents avec
le même R. Ex: (4, 3, 2) et (4,
4, 2) ont le même R = 8√15/15. En fait, il suffit de
maintenir c égal ou supérieur à b et c'est bon. |
Les sept plus petits triangles entiers (R < 2)
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Illustration – Les sept plus petits triangles
entiers (R < 2)
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Illustration – Les quinze plus petits
triangles entiers (2
< R < 3)
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Combien de triangles entiers dans le cercle de
rayon R Pour un rayon 1, il y en
a exactement un seul. Pour un cercle de rayon
2, ils sont sept en tout. Pour un rayon 15, ils
sont 2024. Voir Les exemples de triangles
ci-dessous |
Quantité de triangle entiers dans un cercle avec
R<n 1, 7, 22, 47, 91, 148, 231, 334, 469, 631, 830,
1062, 1339, 1657, 2024, 2434, 2905, 3427, 4014, 4653, 5362, 6141, 6994, 7911, 8917, 10000,
11169, 12425, 13774, 15211, 16743, 18381, 20133, 21975, 23929, 25998, 28185,
30482, 32906, 35449, 38137, 40935, 43884, 46954, … OEIS
A331229 Rayon correspondant du cercle circonscrit 0,5773502693, 1,032795559, 1,154700539, 1,511857892,
1,521277658, 1,590990257, 1,732050808, 2,012461179, 2,015810523, 2,065591118,
2,065591118, 2,157439560, 2,309401077, 2,500000000,
2,512594538, 2,551551816, 2,562050461, 2,620712092, 2,631806780, 2,713602101,
2,727723628, 2,886751347, 3,006688972, … |
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Cas des triangles contenus dans un cercle de R
< 15
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Les trois triangles justes autour de R =15
Le triangle du centre est le célèbre (3, 4, 5) x 6
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Notez que ce n'est pas forcément les côtés que l'on attendait
(autour de 30)
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