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Le jeu de DÉS – Numérotation Combien de façons de
numéroter un cube
ou un dé de 1 à 6. Ou combien de façons de colorier un dé avec six couleurs
différentes. La réponse est 30.
Voyons comment compter. |
Anglais: Number or color cube
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Combien
de façon de numéroter le cube d e1 à 6? Attention,
s'il s'agissait de six positions à numéroter de 1 à 6 nous aurions 6! = 720
possibilités. Ici, le cube
est un volume enroulé dont il faut se méfier et un raisonnement un peu plus
élaboré est de mise. Le patron
(cube développé) va servir à raisonner |
Patron du cube et une numérotation
possible. |
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Nous
repérons le haut (H) et le bas (B) et les quatre faces enroulées: C, D, E, et
F Le choix
haut-bas est arbitraire mais ne change en rien le décompte. Quelque soit la position
initiale du dé, on peut toujours le remettre dans cette position sans perdre
en généralité. Nous
choisissons donc H = 1; reste 5 choix pour B (2, 3, 4, 5 ou 6). |
Notation des faces: haut, bas et faces
latérales. |
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Et,
quatre choix pour les quatre faces. Non pas: 4 x 3 x 2 x 1 = 24 possibilités.
Car, ces quatre faces sont enroulées (Illustration). La
numérotation est indépendante d'une rotation d'un quart de tour. On
choisit un nombre pour C; il reste 3 possibilités pour D, deux pour e et une
pour F. Soit 3 x 2 x 1 = 6 possibilités Bilan: il y a 5 x 6 façons de
numéroter le cube. |
Les faces latérales sont enroulées. Il y a 3! = 6 façons de les numéroter. Il s'agit
d'une permutation
circulaire (comme les convives autour d'une table |
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En ayant
choisi H = 1 (ce qui conserve la généralisé; il suffit de tourner le dé), le
choix s'impose pour le bas: B = 6. Parmi les
possibilités pour les quatre faces, restent les couples (3, 4) et (2, 5) pour
donner le total 7. Ayant
disposé ce quatre nombres (Illustration);
la seule autre possibilité consiste à inverser une paire, disons la paire (3, 4). |
Seul deux types de dés présentent une somme 7 sur les faces opposées. |
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Numérotation du cube de 1 à 6 – 30 possibilités – Deux dés à
somme 7
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Problème Un pavé
formé de six dés en ligne.
Solution Une des
solutions serait celle présentée ci-dessous. La
logique de la construction: - toutes
les faces cachées de 1 à 6 (nombres en rouge) - toutes
les faces avant en commençant par 2 (nombres en bleu) - puis
les autres en décalant d'un cran à chaque fois.
Il existe
énormément de solutions car vous pouvez: - choisir
les numéros de départ dans un autre ordre, ou -
intervertir les cubes de chacune de ces solutions. |
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Les six types de dés utilisés pour
cette solution Le
tableau donne la numérotation lue pour chaque dé. On trouve
son numéro en se référant à la table des possibilités. Les
numéros sont effectivement tous différents. |
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