NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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P-LISTE

 

Glossaire

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INDEX

 

Combinatoire

P – Liste

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Nom

>>> Illustration

>>> Définition

 

 

 

>>> En pratique

>>> Calculs

>>> Applications

>>> Nombres

 

 

 

 

 

P – LISTE

 

But

Choix d'individus parmi d'autres, y compris leurs clones.

 

 

Principe

Pour chaque choix, on peut prendre dans l'ensemble complet. On peut répéter les objets.

 

 

 

APPROCHE

 

Ensemble

Choix

Nom

{a, b, c, d}

aacd, bcad, …

p-liste de 4 parmi 4

 

aac, bca, cda, ccb

p-liste de 3 parmi 4

 

aa, ab, bb, cd, db

p-liste de 2 parmi 4

 

*      L'ordre a son importance.

*      Un élément choisi, peut être réutilisé: c'est un tirage avec remise.

 

 

 

NOM

 

*      Une telle disposition s'appelle

*       une p-liste de p objets parmi n

*       un  p-uplet

un couple si p = 2

un triplet si p = 3

*       un mot de longueur p,

*       une suite de longueur p.

 

Notation

Lpn

 

 

 

ILLUSTRATION

 

Arrangement classique

*      Il s'agit de donner un rang 
de 1 à p
à p parmi n objets.

 

 

1er

2e

A

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

 

 

*      Ici est représenté l'arrangement BD.

 

 

Ce que permet la p-liste en plus

*      On peut donner le même rang au même élément.

 

 

 

1er

2e

A

 

 

B

 

 

C

 

 

D

 

 

 

*      Ici est représenté l'arrangement BB.

 

 

DÉFINITION

 

Une p-liste d'éléments d'un ensemble E est une liste ordonnée de p éléments de E non nécessairement distincts. C'est un élément du produit cartésien Ep = E x E … x E (p termes).

 

Type de

dispositions

Avec remise

Sans remise

Ordonné

p- liste

Arrangement &

Permutation

Pas ordonné

ou Simultané

p- suite

Combinaison

 

 

 

 

 

 

En pratique:  Le COMPTEUR DÉCIMAL

 

*    L'image du compteur est bien pratique pour calculer la quantité de p-listes.

*    Prenons l'exemple des chiffres de 0 à 9 sur 3 positions. La valeur de chacune des positions est indépendante de la valeur de la position voisine:

*    La position de droite peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9;

*    La position du milieu peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9; et

*    La position de gauche peut prendre toutes les valeurs de 0 à 9.

 

*    En vertu du principe multiplicatif, le total des possibilités est le produit des possibilités individuelles. Ce qui en somme nous rassure, car ce que cela veut dire c'est que, avec 3 chiffres, on peut former 1000 nombres!

 

L310 = 10 x 10 x 10 = 103

 

Les immatriculations

 

*    Avec les 26 lettres de l'alphabet, on forme une immatriculation de 3 lettres.

Combien d'immatriculations possibles ?

 

a

b

c

 

L326 = 26 x 26 x 26 = 263 = 17 576

En binaire

 

*    En binaire les chiffres sont 0 ou 1.

Combien existe-t-il de nombres de 5 bits ?

 

0

1

1

 

L52 = 2x2x2x2x2 = 25 = 32

 

 

 

Dénombrement

 

 

*    Le nombre de p-listes de n éléments
est le nombre noté Lpn défini par:

 

 

Lpn = np

 

 

Exemples d'applications

 

Les deux cercles

 

*    On choisit un chiffre sur chaque cercle pour former un nombre de deux chiffres. On peut en former:

L24 = 4 x 4 = 16 nombres

 

 

La marelle

 

*    On part d'un point de la couronne extérieure. On se dirige vers un des chiffres  de la couronne intérieure. On peut parcourir:

 

L24 = 4 x 4 = 16 chemins

 

 

Nombres formés avec {1, 2, 3, 4}

 

Nombres formés avec {1, 2, 3}

Nombres à un seul chiffre

Nombres à deux chiffres

Nombres à trois chiffres

Nombres à quatre chiffres

 

 

L13 = 3  possibilités

L23 = 32 =     9  

L33 = 33 =   27

L43 = 34 =   81

 

 

Nombres formés avec {1, 2, 3, 4}

Nombres à un seul chiffre

Nombres à deux chiffres

Nombres à trois chiffres

Nombres à quatre chiffres

 

 

L14 = 4  possibilités

L24 = 42 =   16  

L34 = 43 =   64

L44 = 44 = 256

 

 

Nombres de trois chiffres avec le 4 au moins une fois =  tous sauf les nombres à trois chiffres formés sans le 4.

 

 

 

L34 – L33 = 64 – 27 = 37

 

 

Nombres de trois chiffres avec une seule fois le 4 = le 4 positionné, il reste deux positions à remplier avec 3  chiffres, et ceci pour les trois positions du 4

 

 

 

3 x L23 = 3 x 9 = 27

 

 

Nombres de trois chiffres avec plusieurs fois le 4 = le 44 positionné, il reste une position à remplier avec 3 chiffres, et ceci pour les trois positions du 44; sans oublier l'unique cas de trois 4.

C'est aussi tous les cas sauf "pas de 4" ou "un 4"

 

 

 

 

3 x 3 + 1 = 10

 

 

64 – 27 – 27 = 10

 

 

 

Bilan pour les nombres

à trois chiffres (positions)  

comportant les quatre chiffres (symboles).

 

 

 

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