Nombre et ordre de grandeur

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		Sommaire de cette page >>> Puissances positives >>> Puissances de 10 cachées >>> Puissances négatives

ORDRE de GRANDEUR

Comparaison des nombres en puissance de 10

Comment comparer des nombres exprimés en puissance de 10, positives comme négatives? Vous n'êtes pas très sûrs …

Voici un moyen simple pour se raccrocher à une logique de raisonnement et éviter de se tromper, surtout avec les puissances négatives.

Aussi: avec de tels nombres, comment arrondir ?

Puissance positives
Donner un encadrement en puissance de dix et donnez la valeur la plus proche (l'arrondi). Arrondi: 300 est plus proche de 100 (écart 300) que de 1000 (écart 700).	n = 3 10² n = 300 n est plus petit que 1000 = 10³ n est plus grand que 100 = 10² 100 < 300 < 1000 10² < 3 10² < 10³ 3 10² 10²
Peut-on généraliser? A est un nombre compris entre 1 et 5 (non compris) B est un nombre compris entre 5 (compris) et 2 (non compris)	n = A x 10^k 10^k < A x 10^k < 10^k+1 n 10^k m = B x 10^k 10^k < B x 10^k < 10^k+1 m 10^k+1

Illustration

Bilan

Il faut procéder avec méthode:

1) positionner le nombre sur la droite des réels;

2) noter l'inégalité avec le plus petit;

3) noter l'inégalité avec le plus grand;

4) écrire la double inégalité en respectant les sens des inégalités; et

5) donner l'arrondi en appréciant l'écart avec le plus grand et le plus petit, sachant que si le nombre est au milieu, l'arrondi sera égal au plus grand.

Exemples divers

n = 2,2 x 10¹⁰

10¹⁰ < 2,2 x 10¹⁰ < 10¹¹

n 10¹⁰

n = 7,525 x 10¹⁰

10¹⁰ < 7,525 x 10¹⁰ < 10¹¹

n 10¹¹

Exemples particuliers

n = 1,000 001 10¹⁰

10¹⁰ < 1,000 001 x 10¹⁰ < 10¹¹

n 10¹⁰

n = 5 x 10¹⁰

10¹⁰ < 5 x 10¹⁰ < 10¹¹

n 10¹¹

n = 9,999 999 x 10¹⁰

10¹⁰ < 9,999 999 x 10¹⁰ < 10¹¹

n 10¹¹

Puissances 10 cachées

Que se passe t-il lorsque le nombre accompagnant la puissance de 10 n'est pas compris entre 1 et 9,99… ?

Il faut d'abord le remettre dans la bonne fourchette en utilisant la multiplication et la division par une puissance de 10.

n = 0,2 x 10¹⁰

n = (0,2 x 10) x (10¹⁰ / 10)

n = 2 x 10 ⁹

10⁹ < 2,2 x 10⁹ < 10¹⁰

n 10⁹

n = 225 x 10¹⁰

n = (225 / 100) x (10¹⁰ x 100)

n = 2,25 x 10 ¹¹

10¹¹ < 2,25 x 10¹¹ < 10¹²

n 10¹¹

Puissance négatives
Donner un encadrement en puissance de dix et donnez la valeur la plus proche (l'arrondi). Notez qu'il faut 10 centièmes (plus que 3 centièmes) pour atteindre 1/10. Arrondi: 3/300 est plus proche de 1/100 (écart 2/100) que de 1/10 = 10/100 (écart 7/100).	n = 3 10^-2 n = 1 / 300 n est plus petit que 1/10 = 10^-1 n est plus grand que 1/100 = 10^-2 1/100 < 3/300 < 1/10 10^-2 < 3 10² < 10^-1 3 10^-2 10^-2
Peut-on généraliser? A est un nombre compris entre 1 et 5 (non compris) B est un nombre compris entre 5 (compris) et 2 (non compris)	n = A x 10^-k 10^-k < A x 10^-k < 10^-k+1 n 10^-k m = B x 10^-k 10^-k < B x 10^-k < 10^-k+1 m 10^-k+1