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Sommaire de cette page

>>> Puissances positives

>>> Puissances de 10 cachées

>>> Puissances négatives

 

 

 

 

ORDRE de GRANDEUR

Comparaison des nombres en puissance de 10

  

*      Comment comparer des nombres exprimés en puissance de 10, positives comme négatives? Vous n'êtes pas très sûrs …

*      Voici un  moyen simple pour se raccrocher à une logique de raisonnement et éviter de se tromper, surtout avec les puissances négatives.

*      Aussi: avec de tels nombres, comment arrondir ?

 

 

Puissance positives

 

*    Donner un encadrement en puissance de dix et donnez la valeur la plus proche (l'arrondi).

 

 

Arrondi: 300 est plus proche de 100 (écart 300) que de 1000 (écart 700).

 

n = 3 102
n = 300

n est plus petit que 1000 = 103

n est plus grand que 100 = 102

 

  100 < 300 < 1000

      102 < 3 102 < 103

 

           3 102  102

 

*    Peut-on généraliser?

A est un nombre compris entre 1 et 5 (non compris)



B est un nombre compris entre 5 (compris) et 2 (non compris)

 

n = A x 10k

 

      10k < A x 10k < 10k+1

n  10k

 

 

m = B x 10k

 

      10k < B x 10k < 10k+1

m  10k+1

 

 

Illustration

 

Bilan

Il faut procéder avec méthode:

1)   positionner le nombre sur la droite des réels;

2)  noter l'inégalité avec le plus petit;

3)  noter l'inégalité avec le plus grand;

4)  écrire la double inégalité en respectant les sens des inégalités; et 

5)  donner l'arrondi en appréciant l'écart avec le plus grand et le plus petit, sachant que si le nombre est au milieu, l'arrondi sera égal au plus grand.

 

 

Exemples divers

 

 

 

n = 2,2 x 1010

      1010 < 2,2 x 1010 < 1011

n  1010

 

n = 7,525 x 1010

      1010 < 7,525 x 1010 < 1011

n  1011

 

Exemples particuliers

 

 

n = 1,000 001 1010

      1010 < 1,000 001 x 1010 < 1011

n  1010

 

n = 5 x 1010

      1010 < 5 x 1010 < 1011

n  1011

 

n = 9,999 999 x 1010

      1010 < 9,999 999 x 1010 < 1011

n  1011

 

 

 

Puissances 10 cachées

 

*    Que se passe t-il lorsque le nombre accompagnant la puissance de 10 n'est pas compris entre 1 et 9,99…  ?

 

 

*    Il faut d'abord le remettre dans la bonne fourchette en utilisant la multiplication et la division par une puissance de 10.

 

n = 0,2 x 1010

n = (0,2 x 10) x (1010 / 10)

n =    2 x 10 9

 

      109 < 2,2 x 109 < 1010

n  109


n = 225 x 1010

n = (225 / 100) x (1010 x 100)

n =    2,25 x 10 11

 

      1011 < 2,25 x 1011 < 1012

n  1011

 

 

 

Puissance négatives

 

*    Donner un encadrement en puissance de dix et donnez la valeur la plus proche (l'arrondi).

 

*    Notez qu'il faut 10 centièmes (plus que 3 centièmes) pour atteindre 1/10.

 

 

Arrondi: 3/300 est plus proche de 1/100 (écart 2/100) que de 1/10 = 10/100 (écart 7/100).

 

 

n = 3 10-2
n = 1 / 300

n est plus petit que 1/10 = 10-1

n est plus grand que 1/100 = 10-2

 

  1/100 < 3/300 < 1/10

      10-2 < 3 102 < 10-1

 

           3 10-2  10-2

 

*    Peut-on généraliser?

A est un nombre compris entre 1 et 5 (non compris)



B est un nombre compris entre 5 (compris) et 2 (non compris)

 

n = A x 10-k

 

      10-k < A x 10-k < 10-k+1

n  10-k

 

 

m = B x 10-k

 

      10-k < B x 10-k < 10-k+1

m  10-k+1

 

 

 

Bilan

La même méthode s'applique. Elle a tout son intérêt ici, car il vaut mieux repasser par toutes ces étapes pour ne pas risquer de se tromper.

 

Exemples divers

 

 

 

n = 2,2 x 10-10

      10-10 < 2,2 x 1010 < 10-9

n  10-10

 

n = 7,525 x 10-10

      10-10 < 7,525 x 10-10 < 109

n  10-9

 

Exemples particuliers

 

 

n = 1,000 001 10-10

      10-10 < 1,000 001 x 10-10 < 109

n  10-10

 

n = 5 x 10-10

      10-10 < 5 x 10-10 < 10-9

n  10-9

 

n = 9,999 999 x 10-10

      10-10 < 9,999 999 x 10-10 < 10-9

n  10-9

 

Puissances de 10 cachées

 

n = 0,22 x 10-10

n = (0,22 x 10) x (10-10 / 10)

n =  2,2 10-11

 

      10-11 < 0,22 x 10-10 < 10-10

n  10-11

 

 

 

 

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