NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 21/08/2021 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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Théorème de Dirichlet

Comment approcher un nombre irrationnel

avec une fraction optimum ?

ou, quels sont les multiples d'un nombre irrationnel se rapprochant le plus d'un nombre entier?

Approche et démonstration à la façon de Dirichlet lui-même; en utilisant le principe des tiroirs.

Le théorème en bref

Pour tout nombre irrationnel, il existe une infinité de fractions qui s'approchent du nombre de plus en plus près. L'erreur est inférieure au carré de la fraction "1 / dénominateur". La fraction 22/7 est proche de Pi à moins de 1/9².

Pi – 22/7 = 0,0012… et 1/49 = 0,02…

Vous pouvez voir un exemple d'application avant d'entrer dans la théorie

laquelle théorie est tout à fait abordable comme vous allez le voir.

Approche
Un nombre irrationnel est un nombre dont les décimales s'égrènent jusqu'à l'infini. Aucune fraction ne peut le représenter exactement. Mais, peut-on trouver une fraction aussi proche que l'on veut de ce nombre irrationnel ? réponse: Oui, dit Dirichlet. Sur l'exemple choisi, L'écart entre 1,25 et 1,2345… vaut 0,0154… soit environ 1/65. Avec 1/65, nous avons fait beaucoup mieux que le 1/10 demandé. En fait, nous verrons que se sera toujours mieux que 1/ (4 x 10) = 1/40, avec un facteur multiplicatif de 4 qui est le dénominateur de la fraction trouvée. Dirichlet dit que non seulement il y aura l'effet multiplicateur égal au dénominateur, mais aussi, et surtout, que la solution existe toujours.	Prenons le nombre 1,23456 … Cherchons une fraction qui approche ce nombre à 1/10 près. Nous trouverons assez rapidement que 5/4 = 1,25 fera l'affaire. L'illustration le montre bien: Écart demandé: 1/10 Écart assuré: 1/40 Écart effectif: 1/65
Note importante On peut dire que 1,2345… est proche de 5/4 à 1/40 près; ou en multipliant par 4, que: 1,2345… x 4 = 4,938… est proche de 5 à 1/10 près On répond alors à la question: quel est le multiple du nombre irrationnel qui se rapproche le plus d'un nombre entier?

Théorème de Dirichlet
Nous voulons approcher le nombre irrationnel alpha par une fraction p/q à 1/N près. Dirichlet dit que c'est toujours possible avec q compris entre 1 et N, et en prime, nous serons encore plus proche que prévu: à 1/q.N près.
Théorème Si est un nombre irrationnel et N un entier positif, alors il existe un rationnel p/q dont le dénominateur q est compris entre 1 et N et tel que: Les deux traits verticaux indiquent qu'il faut prendre la valeur absolue (ignorer le signe). Ou, en multipliant la relation précédente par q: Autrement dit: Il existe un entier q avec tel que est à moins de 1/N d'un entier p. Voir note ci-dessus

Brève 369

Démonstration trouvée par Dirichlet
L'intervalle [0, 1[ est divisé en N tranches de largeur 1/N: [ 0, 1/N[ [1/N, 2/N[ [2/N, 3/N[ … [N-1/N, 1[ Prenons maintenant les N+1 parties décimales des multiples d'alpha: { 0 } { } { 2 } { 3 } … { N } Le principe des tiroirs nous dit que deux de ces parties décimales, au moins, sont dans une des tranches de l'intervalle. On les note: { r . } et { s . }.	[0, 1[ veut dire que le 0 fait partie de l'intervalle, alors que le 1 n'en fait par partie. Le principe des tiroirs se met en action: les tranches d'intervalle sont les tiroirs; et les parties décimales sont les objets à placer. Il y a N + 1 objets dans N tiroirs, un des tiroirs contiendra au moins 2 objets. Alors, une tranche contiendra forcément deux parties décimales.

Monde des parties décimales des multiples d'alpha, et leur place dans des tranches de largeur 1/N.

Une des tranches 1/N contient forcément deux parties décimales.

{xx} veut dire partie décimale du nombre.

Théorie Chacun des multiples r. et s., situé dans la même tranche, leur différence est inférieure à 1/N. Leur différence s'approche d'un nombre entier p à 1/N près. est proche de l'entier p à 1/N près. Autrement dit:

Se faire une idée Dans l'exemple ci-dessus, avec N = 10, les valeurs de r et s seraient: r = 9 => 9 x 1,234… = 11,110… s = 5 => 5 x 1,234… = 6,172… La différence 4 x 1,234… = 4,938 … Qui s'approche à moins de 1/10 du nombre entier q = 5 qui n'est autre que la différence des parties entières: 11 – 6 = 5. 4 x 1,234… – 5 = 0,064 Valeur bien inférieure à 0,1 = 1/10

Suite	Théorème de Dirichlet et réduites de Pi Lejeune-Dirichlet
Voir	Conjecture de Duffin-Shaeffer, prolongement du théorème de Dirichlet Dénombrement et tiroirs Formes quadratiques Inventaire des outils mathématiques
Aussi	Carré des moyennes de Dirichlet Compter - Index Compter Jeux Factorielle et ses cousins Jeux de hasard Grenouilles Probabilités
Livre	Tangente HS 39 – L'art du dénombrement – Avril 2010
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/ThNb/ThDirich.htm