NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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Théorie des Nombres

 

Débutants

Fractions

Théorème de Dirichlet

 

Glossaire

Fractions

 

 

INDEX

 

Th des Nbs

 

 

Introduction

Théorème

Application à Pi

Tableur

Duffin-Schaeffer

 

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Théorème de Dirichlet

>>> Démonstration

 

 

 

 

 Théorème de Dirichlet

Comment approcher un nombre irrationnel

avec une fraction optimum ? 

ou, quels sont les multiples d'un nombre irrationnel se rapprochant le plus d'un nombre entier?

 

Approche et démonstration à la façon de Dirichlet lui-même; en utilisant le principe des tiroirs.

 

Le théorème en bref

Pour tout nombre irrationnel, il existe une infinité de fractions qui s'approchent du nombre de plus en plus près. L'erreur est inférieure au carré de la fraction "1 / dénominateur". La fraction 22/7 est proche de Pi à moins de 1/9².

Pi – 22/7 = 0,0012… et 1/49 = 0,02…

Vous pouvez voir un exemple d'application avant d'entrer dans la théorie

laquelle théorie est tout à fait abordable comme vous allez le voir.

 

 

Approche

 

*      Un nombre irrationnel est un nombre dont les décimales s'égrènent jusqu'à l'infini. Aucune fraction ne peut le représenter exactement.

 

*      Mais, peut-on trouver une fraction aussi proche que l'on veut de ce nombre irrationnel ? réponse: Oui, dit Dirichlet.

 

*      Sur l'exemple choisi, L'écart entre 1,25 et 1,2345… vaut 0,0154… soit environ 1/65.

 

*      Avec 1/65, nous avons fait beaucoup mieux que le 1/10 demandé. En fait, nous verrons que se sera toujours mieux que 1/ (4 x 10) = 1/40, avec un facteur multiplicatif de  4 qui est le dénominateur de la fraction trouvée.

 

*      Dirichlet dit que non seulement il y aura l'effet multiplicateur égal au dénominateur, mais aussi, et surtout, que la solution existe toujours.

 

Prenons le nombre 1,23456 …

Cherchons une fraction qui approche ce nombre à 1/10 près.

Nous trouverons assez rapidement que 5/4 = 1,25 fera l'affaire.

 

L'illustration le montre bien:

 

 

*    Écart demandé:   1/10

*    Écart assuré:      1/40

*    Écart effectif:   1/65

 

 

Note importante

On peut dire que 1,2345… est proche de 5/4 à 1/40 près;

ou en multipliant par 4, que:

   1,2345… x 4 = 4,938…   est proche de 5     à 1/10 près

On répond alors à la question: quel est le multiple du nombre irrationnel qui se rapproche le plus d'un nombre entier?

 

 

Théorème de Dirichlet

 

*      Nous voulons approcher le nombre irrationnel alpha par une fraction p/q à 1/N près.

*      Dirichlet dit que c'est toujours possible avec q compris entre 1 et N, et en prime, nous serons encore plus proche que prévu: à 1/q.N près.

 

Théorème

Si  est un nombre irrationnel et N un entier positif, alors il existe un rationnel p/q dont le dénominateur q est compris entre 1 et N et tel que:

Les deux traits verticaux indiquent qu'il faut prendre la valeur absolue (ignorer le signe).

 

 

Ou, en multipliant la relation précédente par q:

 

Autrement dit:
Il existe un entier q avec
 

tel que  est à moins de 1/N d'un entier p.

Voir note ci-dessus

 

Brève 369

 

 

Démonstration trouvée par Dirichlet

 

*      L'intervalle [0, 1[ est divisé en N tranches de largeur 1/N:

[    0,   1/N[

[1/N,   2/N[

[2/N,   3/N[

[N-1/N,   1[

 

*      Prenons maintenant les N+1 parties décimales des multiples d'alpha:

{    0 }

{     }

{ 2 }

{ 3 }

{ N }

 

*      Le principe des tiroirs nous dit que deux de ces parties décimales, au moins, sont dans une des tranches de l'intervalle.

On les note:  { r . } et { s . }.

 

[0, 1[ veut dire que le 0 fait partie de l'intervalle, alors que le 1 n'en fait par partie.

 

Le principe des tiroirs se met en action:

*    les tranches d'intervalle sont les tiroirs; et

*    les parties décimales sont les objets à placer.

 

Il y a N + 1 objets dans N tiroirs, un des tiroirs contiendra au moins 2 objets. Alors, une tranche contiendra forcément deux parties décimales.

 

 

 

 

Monde des parties décimales des multiples d'alpha, et leur place dans des tranches de largeur 1/N.

Une des tranches 1/N contient forcément deux parties décimales.

{xx} veut dire partie décimale du nombre.

 

Théorie

*      Chacun des multiples r. et s., situé dans la même tranche, leur différence est inférieure à 1/N.

*      Leur différence s'approche d'un nombre entier p à 1/N près.

 est proche de l'entier p à 1/N près.

 

Autrement dit:

 

 

Se faire une idée

Dans l'exemple ci-dessus, avec N = 10, les valeurs de r et s seraient:

r = 9 => 9 x 1,234… = 11,110…

s = 5 => 5 x 1,234… =  6,172…

La différence

            4 x 1,234… =  4,938 …

Qui s'approche à moins de 1/10 du nombre entier q = 5 qui n'est autre que la différence des parties entières: 11 – 6 = 5.

 

4 x 1,234… – 5  = 0,064

Valeur bien inférieure à 0,1 = 1/10

 

 

 

 

 

Suite

*           Théorème de Dirichlet et réduites de Pi

*           Lejeune-Dirichlet

Voir

*           Conjecture de Duffin-Shaeffer, prolongement du théorème de Dirichlet

*           Dénombrement et tiroirs

*           Formes quadratiques

*           Inventaire des outils mathématiques

Aussi

*           Carré des moyennes de Dirichlet

*           Compter - Index

*           Compter

*           Jeux

*           Factorielle et ses cousins

*           Jeux de hasard

*           Grenouilles

*           Probabilités

Livre

*           Tangente HS 39 – L'art du dénombrement – Avril 2010

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