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NOMBRES PREMIERS Les plus grands connus ou accessibles On
s'intéresse souvent au plus grand nombre premier connu. Cependant, il en
existe de nombreux autres plus petits dont on ne sait pas s'ils sont premiers ou composés. Où se trouve la
limite? Où
s'arrête la liste de tous les nombres connus comme étant composés ou premier?
Quel est le plus grand premier de la liste de tous les premiers consécutifs
connus? Quels
sont ceux qui me sont accessibles avec mon ordinateur? |
Voir Quel type de record ?
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Calculette |
Avec
ma calculette, je ne peux pas
aller bien loin. Étant donné un nombre N, il me faut faire la division de N avec chacun des
nombres entiers premiers inférieurs à racine de N. |
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Tables |
Internet
donne accès à des tables de nombres premiers.
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Test en ligne |
Je
propose deux sites (il en existe bien d'autres):
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Tableur |
Avec
un tableur, il est facile de mettre en place le crible d'Ératosthène. Excellent
exercice d'apprentissage du tableur. Il
existe mieux: une formule adéquate (assez
sophistiquée) qui, en introduisant N dans une cellule, vous indique si N est
premier dans la cellule voisine. Et cela pour N jusqu'à 250 millions. |
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Logiciels mathématiques |
Le
logiciel Maple possède une
instruction "isprime" qui indique si un
nombre est premier ou non. Il peut atteindre 10 137 000 001 (10140 milions fait déborder la capacité mémoire). Maple
indique que ce nombre n'est pas premier en 18 secondes de calcul. Cependant,
ce temps de calcul dépend largement des facteurs impliqués. En pratique, on
utilisera ces logiciels jusqu'à N = 1012. Avec
les théorèmes de théorie des nombres, on atteint 280 = 1,20…1024
sans grande difficulté. |
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Calculs mémorisés en tables |
Certains
laboratoires mathématiques ont procédé au calcul de tous les nombres premiers
en conservant leur liste en mémoire
jusqu'à N = 1012. |
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Calculs du plus grand |
Ces
laboratoires ont épluchés les nombres jusqu'à N = 1018. Ainsi, tous les nombres
premiers successifs jusqu'à cette valeur sont connus. Intérêt pour connaître
la distance maximale (gap) entre deux premiers successifs. |
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Records |
Sports
de mathématiciens et d'informaticiens consistant à trouver le plus grand
nombre premier ou le plus grand dans certaines catégories (jumeaux, de Saint-Germain …). Record
en 2014: 2 57 885 161 – 1 avec plus de 17 millions de chiffres. Tous ces records sont en
principe des nombres de
Mersenne. Voir les pages
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Il est vrai que, plus on dépasse cette
limite et plus un ordinateur personnel prendra du temps à trouver les
facteurs. Il sera un peu plus rapide pour déterminer la primalité. |
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Voir Brève 47-935
Bilan
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On retiendra les ordres de grandeur:
On se souviendra que:
En effet, pour savoir si un nombre est
premier, il suffit de s'intéresser aux restes de divisions (congruences); alors pour les facteurs, il faut absolument tout
connaître du nombre. |
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Voir |
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Aussi |
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Site |
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