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Une passerelle entre nombres pairs et nombres
premiers Conjecture des pierres de gué Une propriété bien
singulière découverte par Arnaud Debeurme; propriété qui peut aussi être
l'occasion d'énigmes amusantes. Il s'agit
d'atteindre un nombre donné en ne passant que par des nombres Sur cet exemple, on rejoint 13 en passant par 3 et 7 (certains des premiers), avec les passerelles 2, 4 et 6 (tous les pairs). Si la propriété
semble se vérifier du fait d'une quantité croissante de solutions, la
démonstration ne m'est pas connue. |
Pour jouer
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Un défi ! Comment
traverser la rivière avec ces cinq planches à poser sur les pierres de gué. Observation Avez-vous
reconnu:
Alors, si on
trouve une solution, Réponse Oui, le
passage à gué est possible ! Sans doute, sans trop de
mal puisqu'il existe 17 solutions. Observations D'abord, je
fais le compte:
Ensuite
Enfin: une
question
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Énigme Plot ou pierres de gué:
nombres impairs Passerelles: planche de
longueur paire
Une des solutions
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n = 4 et S = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 = 4² + 4 + 1 = 21 Vous devez
partir ce labyrinthe
en partant du 1 et arriver au 21 en suivant un chemin horizontal ou vertical. La règle du jeu reste la
même: utiliser tous les nombres pairs et ne passer que par des nombres
premiers. |
On retrouve les nombre
premiers en rouge. En marron, l'écart entre
ces nombres premiers. Le dernier écart, en bleu, signale que le point
d'arrivée n'est pas un nombre premier Exemple de chemin en
rouge: les quatre nombres pairs sont bien utilisés. |
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Note: le jeu serait encore plus facile et plus divers
en ajoutant les passerelles 4 entre 17 et 21 et 8 entre 13 et 21. Elles
seraient montrées en bleu sur ce graphique. |
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n = 5 et S = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 5² + 5 + 1 = 31 Vous devez
partir du 1 et arriver au 31 en suivant un chemin horizontal ou vertical. |
Exemple de chemin en
rouge. Trouverez-vous les
dix-sept possibilités ? |
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n = 6 et S = 1 + 2 + 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 6² + 6 + 1 = 43 Vous devez
partir du 1 et arriver au 43 en suivant un chemin horizontal ou vertical. |
En bleu les nouveaux
blocs. Si on sait faire le
chemin n = 5, alors, pour n = 6, il suffit d'ajouter le bloc 12 et on est
arrivé. Évidemment de nombreuses
autres solutions sont possibles. Est-ce une piste pour la
solution globale de ce défi pour tout n ? |
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Le coin mathématique
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Somme des nombres pairs Nous
intéressons à la somme des nombres pairs de 2 à 2n. |
n = 5 S = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 =
30 S = n² +
n = 30 |
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Quantité de sommes avec ordre Il existe q
= n! permutations
de cette somme. Avec 5, il y en a
5x4x3x2x1= 120, et donc autant de
possibilités d'essais de passages à gué |
Manières de faire 30 avec ces
nombres pairs (partitions paires ordonnées)
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Sommes cumulées Idée ! Pour chaque
permutation, on forme une nouvelle suite de nombres constituée du cumul des
termes avec initialisation à 1. Cette opération est
conforme à la méthode de passage des plots en comptabilisant la distance
parcourue à chaque plot. |
[2, 4, 6, 8, 10] Devient: [1 + 2 = 3, 3 + 4 = 7, 7
+ 6 = 13, En résumé: [3, 7, 13, 21, 31] Et avec les points de départ et d'arrivée: [1, 3, 7, 13, 21, 31] |
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Sommes premières Observons si
ces nouveaux nombres sont premiers. Avec les six
premières partitions
de 5, deux sont formées entièrement de nombres premiers. Cette opération est
conforme à la méthode de passage des plots en ne se posant que sur des
numéros premiers. |
Nombres atteints en ajoutant les nombres
pairs et, ensuite, indication si le nombre est premier (1) ou composé (0)
[3, 7, 13, 21, 31], [1, 1, 1, 0, 1]
[3, 7, 13, 23,
31], [1, 1, 1, 1, 1]
[3, 7, 15, 21, 31], [1, 1, 0, 0, 1]
[3, 7, 15, 25, 31], [1, 1, 0, 0, 1]
[3, 7, 17, 23,
31], [1, 1, 1, 1, 1]
[3, 7, 17, 25, 31], [1, 1, 1, 0, 1] La première solution (en jaune) est celle
illustrée en introduction. |
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Conjecture 1 Pour tout n,
il existe au moins une telle suite première réalisée à partir des partitions paires ordonnées du nombre n² +
n. Vérifiée pour n jusqu'à
150. |
Avec n = 5, sur les 120 partitions ordonnées, il
existe 17 suites premières:
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Conjecture 2 Pour tout n,
tous les nombres premiers entre 3 et S se retrouvent parmi ces suites
premières. Vérifiée pour n jusqu'à
150. |
Avec n = 5, S = n² + n + 1 = 31 Liste des nombres premiers avec en indice la
quantité de fois présents dans les suites premières de n: [34,
56, 77, 117, 1310, 176,
198, 2313, 295] Chacun des nombres premiers est présent de
multiple fois. |
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Conjecture 3 et 4 Vérifiée pour n jusqu'à
100. |
Les
conjectures 1 et 2 sont vraies si on utilise les nombres chanceux comme pierres de gué. Les conjectures
1 et 2 sont vraies si on utilise les nombres pratiques comme pierres de gué pour aller de 0 à n² + n. |
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Voir Conjectures
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Table pour n de 2 à 10 La quantité
de partitions en nombres pairs avec prise en compte de l'ordre croit très
rapidement. La quantité
de suites premières suit ce rythme. On y trouve bien tous les nombres
premiers entre 3 et S. Cette
vérification jusqu'à 10 laisse penser qu'il existe toujours de telles suites
premières. Est-ce que
la preuve est simple ou très complexe ? |
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Récurrence S'il existe
une solution pour n, est-ce qu'il existe aussi une solution pour n + 1 ? De part
le principe de la construction de passage de gué ou de labyrinthe, dès que
l'on dispose d'un chemin valide pour n, on dispose d'un chemin pour n + 1 en
prolongeant le chemin pour n avec le nouveau nombre pair à disposition. |
Exemple L'objectif S augmente de
12 et, justement, le
nombre 12 a été ajouté. Ayant une solution pour
5, on dispose également d'une solution pour 6. Il suffit d'ajouter 12 en fin
de parcours du 5. |
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Oups ! Cette affirmation
viendrait clore la preuve si tous les points de destination étaient des
nombres premiers, or il en existe beaucoup de composés. |
Valeurs de S pour les n
successifs: En rouge les nombres
composés: 3, 7, 13, 21, 31, 43, 57, 73, 91, 111,
133, 157, 183, 211, 241,
… |
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Il semble que les
nombres premiers soient des points passerelles pour les nombres pairs
successifs, le point d'arrivée étant un nombre composé ou premier. Lorsque, pour n, le point final est premier, alors il existe
une solution certaine pour n+1 si on connaît une solution pour n. Le fait que le point
final puisse être un nombre composé n'autorise pas de clore la preuve de
cette propriété avec ce raisonnement par récurrence. Quelles sont les
pistes?
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Somme des pairs + 1 = premier
? |
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Est-il
courant pour n² + n + 1 d'être
premier? Non ! Ils sont
de plus en plus rares. |
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Distribution des nombres
premiers |
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Question Parmi tous
les nombres premiers d'une plage de 1 à n, quels sont tous les écarts possibles
entre ces nombres et y retrouvent-on toujours tous les nombres pairs ? Réponse Un test par
programme montre que (du moins pour la partie testée): Entre 3 et 2n, tous les
écarts entre nombres premiers couvrent bien la plage des nombres pairs de 2 à
2n. |
Exemple Avec n = 5 et jusqu'à 31, on trouve dix nombres
premiers [3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31] dont les écarts entre eux sont: 5 – 3 = 2; 11 – 5 = 4; 17 – 11 = 6; 19 – 11 = 8 et 29 – 19 = 10 Soit tous les nombres pairs de la plage (de 2 à
2n = 10), au moins une fois. |
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Page publiée avec
l'autorisation d'Arnaud Debeurme,
l'auteur de cette originalité:
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Is there a relation between prime numbers and even
numbers? It would seem so. This is the conjecture of the "ford
crossing" proposed by Arnaud Debeurme in April 2020. Let be the sequence of even numbers from 2 to 2n.
The sum is S = n² + n. The goal is to build a path which starts from 1 and
reaches S + 1 while progressing among the prime numbers of this interval. The conjecture says that
there exists at least a path such that the distances between all these
numbers (starting number, primes and end number) make up the sequence of even
numbers. |
Existe-t-il une
relation entre les nombres premiers et les nombres pairs? Il semblerait que
oui. C'est la conjecture du passage de gué proposée par Arnaud
Debeurme en avril 2020. Soit
la suite des nombres pairs de 2 à 2n. La somme vaut S = n² + n. Le
but est de construire une chemin qui part de 1 et atteint S + 1 en
progressant parmi les nombres premiers de cet intervalle. La
conjecture dit qu'il existe au moins un itinéraire tel que les distances
entre tous ces nombres (départ, premiers et arrivée) constituent la suite des
nombres pairs. |
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Voir |
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