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Humour
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Deux
mathématiciens au restaurant s'interrogent sur la connaissance en maths de la
population. Le niveau moyen est
tristement faible, dit l'un. Mais, non ! dit l'autre. Ils en viennent à
parier le prix du repas, en prenant la serveuse comme cobaye. Pendant que le
premier se rend aux toilettes, le second dit à la serveuse: - Vous aurez 50
euros si vous répondez "un tiers de x au cube" à la question que je
vous poserai. L'autre
rentre et le premier apostrophe la serveuse: - dites-moi, jeune demoiselle,
savez-vous qu'elle est l'intégrale de x au carré ? La serveuse réfléchit,
tourne la tête et finalement énonce: "un tiers de x au cube". Le
perdant bon joueur admet qu'il doit payer le repas. La serveuse
quitte les deux mathématiciens en murmurant: - il ne faut oublier la
constante ! |
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Avec le lait
comme base:
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Voir Pensées et Humour
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Intégration – Approche
Calcul
intégral ou intégration, c'est quoi en un mot ? Simplement, un calcul de surface ! Oui, mais dans des cas un peu
problématiques comme la surface sous une tranche de parabole ou comme l'aire
de la partie ocre sous la courbe de la figure. |
Voir Découverte
progressive du calcul intégral
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Méthode classique Elle
consiste à comparer l'aire à estimer avec des surfaces d'aire connue, comme
ici avec des bandes rectangulaires verticales. Exemple Avec un quart de cercle
de rayon 10, l'aire est connue: Pi x 10² / 4 = 78,54. Mais sans cette
connaissance, comment l'évaluer ? En haut, l'aire est
encadrée par une valeur minimale (69) et une valeur maximale(85). Une bonne
estimation consiste à prendre la moyenne: (69 + 85) / 2 = 77. En prenant des bandes
plus fines (deux fois plus petites, en bas), l'aire minimale devient 73,5 et
maximale 82,5; pour une moyenne de 78. En prenant des bandes de
plus en plus fines, l'aire estimée converge vers l'aire réelle. |
Notez que plus la
bande verticale est fine et plus elle sont voisine
de la bande moyenne. |
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Voir Méthode d'Archimède
pour la parabole / Algorithme
d'Archimède pour le cercle (Pi)
Dérivée
et intégrale: une explication simple et rapide
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Air sous la courbe = Intégrale |
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Question Pourquoi l'intégrale représente l'aire sous la courbe (en jaune),
alors que la dérivée est la pente ? Réponse La figure est complétée
pour obtenir une surface jaune légèrement supérieure. Nous allons évaluer
l'augmentation de l'aire A(x+h) – A(x) par
encadrement.
Encadrement
En divisant par h, non nul:
Voyons pour h de plus en plus petit. Alors
l'expression centrale correspond à la définition de la dérivée A'(x):
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Passage à la limite:
Conclusion
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La dérivée est bornée
par la même quantité f(x) à droite et à gauche. Elle est égale à cette borne:
A'x = f(x). Alors:
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Après avoir
noté comment estimer l'aire d'une surface complexe, voyons comment exprimer
le calcul. Surface de calcul On souhaite connaitre
l'aire sous la courbe depuis l'abscisse a jusqu'à b. Pour ces deux abscisses,
la courbe se situe aux ordonnées ya et yb et, d'une manière générale un point Mi
d'abscisse xi se trouve à l'ordonnée yi. Caractérisation des rectangles En décidant de prendre k
bandes fine entre a et b, la largueur de la bande
est égale à (b – a ) / k et la hauteur de la bande moyenne en xi
est yi. L'aire d'un rectangle
devient:
Somme des aires A = somme des aires de
toutes les bandes. |
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Calcul discret (= discontinu) |
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Calcul continu (passage à la limite) L'aire réelle sera
atteinte lorsque les bandes seront les plus fines possibles, idéalement
d'épaisseur nulle; c'est la notion de limite. La notation introduit le
symbole "porte-manteau" en indiquant la plage de calcul (a et b) et en adoptant le symbole dx pour indiquer que
les bandes ont une largeur dx très fine. Avec la connaissance de l'équation de la courbe (le cercle dans notre
exemple), il est possible de développer une technique de calcul qui donnera
directement l'aire sous la courbe. Cette technique
s'appelle le calcul intégral. Le symbole
en 'porte-manteau" est appelé signe somme, signe d'intégration, signe
intégral ou intégrateur; il a été introduit par Leibniz. |
Général
Équation du cercle et intégrale
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Résumé: intégration et primitive
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L'aire
sous une courbe peut être estimée par un pavage de
bandes fines rectangulaires. La valeur estimée est d'autant plus proche de la
valeur réelle que les bandes
sont fines. La
technique d'intégration résulte d'un passage à des bandes d'épaisseur
mathématique nulle. Un passage à la limite qui se prête à une technique opératoire appelée intégration et faisant appel à la primitive d'une fonction. La
primitive étant en quelques sorte la dérivée inverse d'une fonction; dit-autrement: connaissant la
dérivée retrouver la fonction. |
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Aire du rectangle avec la méthode d'intégration Il s'agit de calculer
l'aire pour la droite d'équation y = 10 dans deux cas: aire en jaune et aire
en ocre. L'équation est connue y
= 10. Nous devons connaitre la
primitive, inverse de la dérivée. Autrement dit: quelle est la fonction qui
donne la constante 10 comme dérivée ?
La règle du calcul
pratique dit que: L'aire cherchée est égale à la différence entre les
valeurs de la primitive au deux bornes de la plage.
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Le calcul par
intégration restitue bien les valeurs classiques des aires des rectangles: Jaune: 3 x 10 = 30 Ocre: 7 x 10 = 70 |
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Aire du triangle
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Jaune: ½ (3 x 3) = 4,5 Ocre: ½ (10 x 10) – 4,5 = 45,5 |
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Aire du segment de parabole
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Voir Brève 769 / Autre exemple de calcul par intégral
avec y = x²
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Si nous
connaissons les dérivées nous pouvons en déduire les primitives
correspondantes et, en appliquant la méthode proposée (non justifiée à ce
niveau d'initiation), nous pouvons calculer l'aire sous une courbe quelconque
dont nous connaissons l'équation. La
méthode ne marche, évidemment, que si la courbe varie régulièrement (la
fonction est continue). Et après … À ce
niveau d'explication, la notion d'intégration est relativement simple. Son
usage devient vite un casse-tête pour des fonctions plus élaborées et,
surtout, pour les calculs comportant plusieurs niveaux d'intégration (calcul
de volumes et plus). Mais, pas moyen d'y échapper, c'est le seul outil
vraiment efficace pour un grand nombre de problèmes: là où on connait le
comportement local ou instantané et que l'on veut en déduire le comportement
général. |
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