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Citation
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Dieu existe parce que les mathématiques sont cohérentes, |
Voir Pensées et Humour
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Est-ce que les MATHS existent ? Texte
d'après d'une parution de l'université de Toronto parue le 28 mars 2021: Is
mathematics discovered or invented? – Khatchig Anteblian – The VARSITY.
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Les
maths on-elles été découvertes ou inventées? |
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Qu'on les aime ou
qu'on les déteste, personne ne peut nier l'utilité des mathématiques. Elles
ont été utilisées pour tout faire, du comptage des moutons à la construction
de pyramides, en passant par l'atterrissage d'un robot sur Mars, à des
millions de kilomètres de distance. Bien qu'aucun de
ces exercices ne relève des mathématiques pures - compter des objets,
l'ingénierie et les vols spatiaux sont toutes des activités du monde physique
- ils suggèrent que les concepts et méthodologies mathématiques ont une place
dans la réalité physique et sont efficaces pour décrire l'univers qui nous
entoure. La différence entre
les mathématiques et les sciences physiques réside dans le fait que les
mathématiques n'ont pas de composante empirique. Par exemple, un
mathématicien ne peut pas observer la dérivée de la fonction tangente comme
le biologiste peut observer et étudier la division cellulaire ou le physicien
peut observer les orbites planétaires. La dichotomie entre
l'abstraction des mathématiques et leur utilisation pour décrire la réalité
soulève la question de savoir si les mathématiques sont quelque chose que les
humains découvrent ou créent. Tenter de trouver la réponse à ce débat vieux
de plusieurs siècles pourrait nous en apprendre davantage sur nous-mêmes que
sur l'origine des mathématiques. |
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Les
mathématiques n'existent peut-être pas vraiment À la grande joie de
nombreux étudiants du monde entier qui souhaitent voir des étoiles pendant des
devoirs particulièrement éreintants, la vérité mathématique n'est peut-être
pas aussi vraie qu'elle en a l'air, et les mathématiques pourraient en fait
ne pas exister. Cela ne signifie
pas pour autant que un est égal à deux ou que l'on peut diviser par zéro et
que tout s'écroule instantanément. Les tenants de ce point de vue considèrent
plutôt les mathématiques comme une sorte de fiction - ou, comme l'a dit James
Brown, professeur émérite de philosophie à l'Université de Toronto, lors
d'une conversation que nous avons eue sur le sujet, "les mathématiques
sont un jeu. C'est quelque chose que nous avons créé". Selon ce point de
vue "fictionnaliste", toutes les vérités et idées mathématiques que
nous connaissons et aimons - les paraboles, la racine carrée de la valeur
négative de un, pi - ne sont pas vraiment vraies dans un sens objectif, mais
font partie de l'histoire ou du jeu des mathématiques. Par conséquent, M.
Brown a déclaré que, selon ce point de vue, les règles des mathématiques
"ont le même statut qu'une règle d'échecs, telle que 'les fous se
déplacent en diagonale', et ce n'est pas une vérité objective; c'est
simplement une tradition de jeu d'échecs". Par conséquent,
"quatre fois deux font huit" est une affirmation aussi vraie que
"le fou prend g5, échec et mat". Dans le cadre du jeu, les règles
sont parfaitement logiques, mais en dehors du jeu, quatre, deux, huit, le
fou, g5 et le mat ne sont pas réellement réels. Une conséquence
intéressante de ce point de vue est que les règles des mathématiques peuvent
être modifiées, sans que le jeu en soit amélioré ou détérioré. Les
mathématiques fonctionnent sur la base d'un ensemble de règles fondamentales,
appelées axiomes, sur lesquelles reposent tous les autres théorèmes
mathématiques. Si ces règles changent, les mathématiques changent avec elles.
On peut donc en
conclure que toutes les mathématiques reposent sur un ensemble de règles
arbitraires, inventées pour répondre à nos besoins. Mais qu'est-ce que cela
signifie d'inventer des règles mathématiques? |
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Inventer
les mathématiques Les mathématiciens
inventent sans cesse des mathématiques, en formalisant en règles les
observations qu'ils font sur le monde mathématique. Pour comprendre à quoi cela
peut ressembler, prenons par exemple le célèbre paradoxe des sommes infinies
proposé pour la première fois par le philosophe grec Zénon. Supposons que vous
soyez assis à votre bureau et que vous contempliez la nature des distances
entre les objets, et que vous remarquiez que, quelle que soit la distance à
laquelle vous rapprochez deux objets, il semble qu'il y ait toujours plus de
distance à parcourir. Vous placez ces objets en deux points sur une ligne
numérique, marqués zéro et un, et vous commencez à réfléchir à ce que
signifie couvrir la distance qui les sépare. Vous pouvez
imaginer qu'une personne marchant de zéro à un doit, à un moment donné,
passer par le point situé à mi-chemin entre les deux. Ensuite, vous remarquez
qu'il en va de même pour la distance entre ce point et le point 1, et ainsi
de suite. Si vous commencez à
tenir compte des points visités sur le chemin vers le un - une moitié, puis
une moitié plus un quart, puis une moitié plus un quart plus un huitième, et
ainsi de suite - vous remarquez que les sommes s'approchent du un. C'est
logique, car votre personnage imaginaire se dirige vers le chiffre un. En fait, les sommes
se rapprochent également de deux ou trois, mais vous savez que le résultat
final sera un. Puisque vous pouvez diviser indéfiniment la distance en deux,
vos calculs vous indiquent que l'addition d'une infinité de ces incréments
donne un. Cette idée semble
d'abord ridicule - il est impossible d'additionner une infinité de nombres -
mais cela ne vous arrête pas car vous êtes un mathématicien enthousiaste qui
vient de tomber sur quelque chose de prometteur. Vous entreprenez de
formaliser ce que vous venez de trouver, et vous définissez la notion
d'approche d'un nombre. Ensuite, vous définissez une somme infinie de manière
à ce qu'elle soit égale à la valeur dont ses sommes partielles s'approchent. Grâce à ce
processus, vous avez inventé de nouvelles mathématiques pour donner un sens à
ce que l'univers vous montrait. Vous n'avez jamais eu l'impression d'inventer
des choses à partir de rien ; cela ressemblait plutôt à une découverte. |
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Existence,
vérité et Harry Potter Selon l'opinion de
nombreux philosophes et mathématiciens en activité, les concepts et idées mathématiques
existent indépendamment des humains. Cette idée s'inspire des idéaux
abstraits de Platon
et est appelée "platonisme". Les platonistes
soutiennent que les objets mathématiques existent, tout comme vous et moi,
une table ou la bibliothèque Robarts ; toutefois, les objets mathématiques
sont abstraits, ils existent dans un autre coin de la réalité avec lequel
nous ne pouvons pas interagir physiquement, un peu comme l'idée des formes
abstraites de Platon. M. Brown voit cela
comme une analogie. Selon lui, tenter de décrire une structure ou un modèle
observé dans le monde revient à "[pointer] quelque chose dans le paradis
de Platon et [dire] : "Cette structure mathématique [est la même] que
cette partie de la structure physique, donc ça marche". Il a
également fait remarquer que ce processus n'est pas infaillible et qu'il faut
beaucoup d'itérations pour y parvenir. Bien que cette idée
soit très bonne et qu'elle permette aux mathématiciens de poursuivre leur
vie, elle fait avancer le débat d'un pas vers la question de savoir ce que
signifie l'existence de quelque chose. Si nous prenons
pour argent comptant l'affirmation selon laquelle les objets abstraits
existent, il n'est pas nécessaire que les choses soient observables pour
qu'elles soient vraies. Par exemple, Harry Potter est un personnage de
fiction, tout aussi abstrait que l'idée d'un nombre. Tout comme les
mathématiques, l'histoire de Harry Potter existe dans notre conscience collective
et possède un ensemble de propriétés et de caractéristiques sur lesquelles
tout le monde s'accorde. La création de
nouvelles mathématiques devient alors une sorte de fan fiction : on travaille
avec des règles et des modèles établis pour créer ou découvrir de nouvelles
histoires. De même que les personnages d'une histoire ont des modèles de
comportement établis, les fonctions ou les formules se comportent de
certaines manières qui, lorsqu'elles sont placées dans de nouvelles
situations, conduisent à de nouvelles découvertes. |
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