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CARRÉS MAGIQUES à contraintes

Ou carré magique à trous.

Il s'agit de compléter le carré magique.

PROBLÈME
Résoudre ce carré magique d'ordre 4. S est la somme magique à obtenir sur les lignes, les colonnes et les diagonales.

ÉTUDES

Est-ce carré magique normal?

Non! Pour un carré magique normal d'ordre 4, on utilise les nombres de 1 à 16. Visiblement ce carré n'est pas normal, puisque nous rencontrons 19 et 23.

Quelle est la somme magique?

Nous voyons 23 dans le tableau.

Avec un tel carré, on peut utiliser des nombres parmi 1 à 23 au moins

Aucune contrainte n'est donnée

Par conséquent, la somme n'est pas déterminée.

Valeur minimale des nombres utilisés

Du fait de la présence du 1 la valeur minimale des autres nombres est 2

Peut-on compléter certaines cases ?

Oui, la somme sur les diagonales donne la somme magique

S = 23 + 1 + x + 19 et x = S – 43

				19	S
			x		S
		1			S
	23				S
S	S	S	S	S	S

Valeur minimale de la somme

La valeur minimale de x est 2

x min = 2

S min = 43 + 2 = 45

Valeur maximale des nombres

Elle est obtenue dans le cas ou les trois autres nombres d'une somme sont minimaux. Toutes autres valeurs feraient diminuer la valeur de xmax.

S = 1 + 2 + 3 + x max

x max = S – 6

SOLUTIONS

Quels sont les paramètres d'exploration?

Avec les considérations précédentes, on peut chercher les carrés

dont la somme est S = 45 ou plus

avec des chiffres parmi 1 à x max = 41 ou plus

Les premières solutions apparaissent pour S = 49, et il y en a 5:

	2	3	25	19	49
	8	31	6	4	49
	16	1	11	21	49
	23	14	7	5	49
49	49	49	49	49	49

	2	3	25	19	49
	7	32	6	4	49
	17	1	10	21	49
	23	13	8	5	49
49	49	49	49	49	49

	2	4	24	19	49
	9	31	6	3	49
	15	1	11	22	49
	23	13	8	5	49
49	49	49	49	49	49

	2	4	24	19	49
	8	32	6	3	49
	16	1	10	22	49
	23	12	9	5	49
49	49	49	49	49	49

	2	4	24	19	49
	7	33	6	3	49
	17	1	9	22	49
	23	11	10	5	49
49	49	49	49	49	49

Solutions pour S = 50, il y en a 2 seulement:

	2	5	24	19	50
	9	31	7	3	50
	16	1	11	22	50
	23	13	8	6	50
50	50	50	50	50	50

	2	5	24	19	50
	8	32	7	3	50
	17	1	10	22	50
	23	12	9	6	50
50	50	50	50	50	50

Évidemment cela continue pour S > 50.

Donc, de très nombreuses solutions.

LE MÊME problème, mais ORDRE 5
Résoudre ce carré magique d'ordre 5. S est la somme magique à obtenir sur les lignes, les colonnes et les diagonales.

Procédé par analogie

On cherche un carré parmi ceux connus, pour lequel les trois nombres 23, 1, 19 sont sur des lignes et colonnes différentes.

En voici un qui fait l'affaire:

2	14	21	18	10
23	20	7	4	11
9	1	13	25	17
15	22	19	6	3
16	8	5	12	24

Mettons les lignes en ordre.

Une permutation de ligne ne change pas la somme de la ligne ni celle de la colonne.

Par contre, elle peut perturber la somme sur les diagonales.

15	22	19	6	3
2	14	21	18	10
9	1	13	25	17
16	8	5	12	24
23	20	7	4	11

Mettons les colonnes en ordre.

Même remarque que ci-dessus.

Voici une solution.

15	6	22	3	19
2	18	14	10	21
9	25	1	17	13
16	12	8	24	5
23	4	20	11	7

En fait il y a deux variantes

En jaune, les nombres de 1 à 5 pour aider à comparer les solutions

15	6	22	3	19
2	18	14	10	21
9	25	1	17	13
16	12	8	24	5
23	4	20	11	7

12	6	25	3	19
5	18	14	7	21
9	22	1	20	13
16	15	8	24	2
23	4	17	11	10

Merci à Pierre L. pour sa contribution

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Sites	The anti-magic square project
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